题目内容

【题目】已如两个全等的等腰△ABC、△DEF,其中∠ACB=DFE=90°EAB中点,△DEF可绕顶点E旋转,线段DEEF分别交线段CACB(或它们所在的直线)于MN

1)如图1,当线段EF经过△ABC的顶点时,点N与点C重合,线段DEACM,已知AC=BC=5,则MC=   

2)如果2,当线段EF与线段BC边交于N点,线段DE与线段AC交于M点,连MNEC,请探究AMMNCN之间的等量关系,并说明理由;

3)如图3,当线段EFBC延长线交于N点,线段DE与线段AC交于M点,连MNEC,则(2)中AMMNCN之间的等量关系还成立吗?请说明理由.

【答案】1;(2)见解析;(3)见解析

【解析】

1)根据AC=BCEAB中点,得出CEAB,∠ACE=BCE=ACB=45°,∠A=ACE=45°AE=CE,再根据DF=EF,∠DFE=90°,得出∠FED=45°,∠FED=AEC,即可得出AM=MC

2)先在AM截取AH,使得AH=CN,连接EH,根据AE=CE,∠A=BCE=45°证出△AHE≌△CNEHE=NE,∠AEH=CEN,∠HEM=AEC﹣∠AEHMEC=AEC﹣∠CENMEC=AEC﹣∠MEF=90°45°=45°,∠HEM=NEM=45°然后证出△HEM≌△NEMHM=MN,最后根据AM=AH+HM=CN+MN即可得出答案;

3)先在CB上截取CH=AM,根据SAS证得△AEM≌△CEH,得出EM=EH,∠AEM=CEHAM=CH,再根据∠MEN和∠AEC的度数,得出∠CEH+CEN=HEN=45°,再在△EMN和△EHN中,根据SAS证得△EMN≌△EHN,得出MN=HN,即可求出答案.

解:(1)∵AC=BCEAB中点,

CEAB,∠ACE=BCE=ACB=45°

∴∠A=ACE=45°

∴∠AEC=90°AE=CE

DF=EF,∠DFE=90°

∴∠FED=45°

∴∠FED=AEC

又∵AE=CE

AM=MC=AC=

故答案为:

2AM=MN+CN,理由如下:

如图2,在AM截取AH,使得AH=CN,连接EH

由(1)知AE=CE,∠A=BCE=45°

∵在△AHE与△CNE中:

∴△AHE≌△CNESAS),

HE=NE,∠AEH=CEN

∴∠HEM=AEC﹣∠AEHMEC=AEC﹣∠CENMEC=AEC﹣∠MEF=90°45°=45°

∴∠HEM=NEM=45

∵在△HEM与△NEM中:

∴△HEM≌△NEMSAS),

HM=MN

AM=AH+HM=CN+MN

AM=MN+CN

3)猜得:MN=AM+CN,理由如下:

如图3,在CB上截取CH=AM,连接EH

在△AEM和△CEH中,

∴△AEM≌△CEHSAS),

EM=EH,∠AEM=CEHAM=CH

∵∠MEN=45°,∠AEC=90°

∴∠AEM+CEN=45°

∴∠CEH+CEN=HEN=45°

∵∠MEN=HEN

在△EMN和△EHN中,

∴△EMN≌△EHNSAS),

MN=HN

MN=CH+CN

MN=AM+CN

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