Question

如图，在锐角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______。

Answer 1

5

试题分析：在AC上截取AE=AN，连接BE，根据角平分线的性质结合公共边即可得到△AME≌△AMN，可得ME=MN，即得BM+MN=BM+ME≥BE，根据BM+MN有最小值可得当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，则可得△ABE为等腰直角三角形，从而求得结果.
在AC上截取AE=AN，连接BE

∵∠BAC的平分线交BC于点D
∴∠EAM=∠NAM
∵AM=AM
∴△AME≌△AMN（SAS）
∴ME=MN
∴BM+MN=BM+ME≥BE
∵BM+MN有最小值
当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC
又AB=，∠BAC=45°，此时，△ABE为等腰直角三角形
∴BE=5，即BE取最小值为5
∴BM+MN的最小值是5．
点评：构造法是初中解题中常用的一种方法，对于最值的求解是初中考查的重点也是难点．