题目内容

【题目】如图,抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l:y=x﹣5上.

(1)求抛物线顶点A的坐标;
(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧),试判断△ABD的形状;
(3)在直线l上是否存在一点P,使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:∵顶点A的横坐标为x=﹣ =1,且顶点A在y=x﹣5上,

∴当x=1时,y=1﹣5=﹣4,

∴A(1,﹣4)


(2)

解:方法一:

△ABD是直角三角形.

将A(1,﹣4)代入y=x2﹣2x+c,可得,1﹣2+c=﹣4,∴c=﹣3,

∴y=x2﹣2x﹣3,∴B(0,﹣3)

当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,x1=﹣1,x2=3

∴C(﹣1,0),D(3,0),

BD2=OB2+OD2=18,AB2=(4﹣3)2+12=2,AD2=(3﹣1)2+42=20,

BD2+AB2=AD2

∴∠ABD=90°,即△ABD是直角三角形.

方法二:

把A(1,﹣4)代入y=x2﹣2x+c,得c=﹣3,

∴y=x2﹣2x+3=(x﹣3)(x+1),

∴D(3,0),B(0,﹣3),A(1,﹣4),

KBD= =1,KAB= =﹣1,

∴KBDKAB=﹣1,

∴AB⊥BD,即△ABD为直角三角形


(3)

解:存在.

由题意知:直线y=x﹣5交y轴于点E(0,﹣5),交x轴于点F(5,0)

∴OE=OF=5,

又∵OB=OD=3

∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形

∴BD∥l,即PA∥BD

则构成平行四边形只能是PADB或PABD,如图,

过点P作y轴的垂线,过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G.

设P(x1,x1﹣5),则G(1,x1﹣5)

则PG=|1﹣x1|,AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|

PA=BD=3

由勾股定理得:

(1﹣x12+(1﹣x12=18,x12﹣2x1﹣8=0,x1=﹣2或4

∴P(﹣2,﹣7)或P(4,﹣1),

存在点P(﹣2,﹣7)或P(4,﹣1)使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形.


【解析】方法一:(1)先根据抛物线的解析式得出其对称轴,由此得到顶点A的横坐标,然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标.(2)由A点坐标可确定抛物线的解析式,进而可得到点B的坐标.则AB、AD、BD三边的长可得,然后根据边长确定三角形的形状.(3)若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形,应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论,即①AD PB、②AB PD,然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标.
方法二:(1)略.(2)分别求出直线AB与直线BD的斜率,并证明两直线斜率的乘积等于﹣1,从而证明△ABD为直角三角形.(3)先证明直线BD平行AP,则只需PA=BD时,采用坐标平移法,可求出P点坐标.4利用梯形面积公式可求解.

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