题目内容
【题目】如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．
（1）求抛物线顶点A的坐标；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；
（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
解：∵顶点A的横坐标为x=﹣ 
=1，且顶点A在y=x﹣5上，
∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，
∴A（1，﹣4）
（2）
解：方法一：
△ABD是直角三角形．
将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，
∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）
当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3
∴C（﹣1，0），D（3，0），
BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，
BD2+AB2=AD2，
∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．
方法二：
把A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，得c=﹣3，
∴y=x2﹣2x+3=（x﹣3）（x+1），
∴D（3，0），B（0，﹣3），A（1，﹣4），
KBD= 
=1，KAB= 
=﹣1，
∴KBDKAB=﹣1，
∴AB⊥BD，即△ABD为直角三角形
（3）
解：存在．
由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点E（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）
∴OE=OF=5，
又∵OB=OD=3
∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形
∴BD∥l，即PA∥BD
则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，
过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G．
设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）
则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|
PA=BD=3 
由勾股定理得：
（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4
∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），
存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．
【解析】方法一：（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标．（2）由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标．则AB、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状．（3）若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论，即①AD 
PB、②AB PD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标．
方法二：（1）略．（2）分别求出直线AB与直线BD的斜率，并证明两直线斜率的乘积等于﹣1，从而证明△ABD为直角三角形．（3）先证明直线BD平行AP，则只需PA=BD时，采用坐标平移法，可求出P点坐标．4利用梯形面积公式可求解．
