Question

【题目】在数学课上，老师要求学生探究如下问题：

(1)如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1，试求∠BPC的度数.李华同学一时没有思路，当他认真分析题目信息后，发现以PA、PB、PC的长为边构成的三角形是直角三角形，他突然有了正确的思路：如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′，易得△P′PB是等边三角形，△PP′A是直角三角形.则∠BPC=_______°.

(2)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1，试求∠BPC的度数.

(3)在图3中，若在正方形ABCD内有另一点Q，QA=a，QB=b，QC=c(a>b，a>c)，试猜想a，b，c满足什么条件时，∠BQC的度数与第(2)问中∠BPC的度数相等，请直接写出结论.

Answer 1

【答案】（1）150°；（2）∠BPC＝135°；（3）a2＝c2+2b2．

【解析】

（1）由题意易证得△P′PB是正三角形，△P′PA是直角三角形，进而可得∠BP'P与∠AP'P的度数，再根据旋转的性质即得结果；

（2）仿照（1）的思路，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，然后连接PP'，根据旋转的性质可得△是等腰直角三角形，根据勾股定理的逆定理可得∠AP'P＝90°，从而可得结论；

（3）仿照（2）的思路，将△BQC绕点B逆时针旋转90°，得到△BQ'A，然后连接QQ'，根据旋转的性质可得△是等腰直角三角形，进一步即得∠AQ'Q＝90°，然后根据勾股定理即可得出结论．

解：（1）∵将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，

∴BP= BP′，∠PBP'＝60°，

∴△P′PB是等边三角形，

∴∠BP'P＝60°，

∵PA=2，PP'= BP=，PC=P′A=1，

∴，

∴△P′PA是直角三角形，∠AP'P＝90°，

∴∠AP'B＝150°，

∴∠BPC＝∠AP'B＝150°；

故答案为：150°；

（2）如图4，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，

∴BP＝BP'＝，∠PBP'＝90°，PC＝P'A，∠AP'B＝∠BPC，

∴∠BP'P＝45°，PP'＝＝2，

∵P'P2+P'A2＝5，PA2＝5，

∴P'P2+P'A2＝PA2，

∴∠AP'P＝90°，

∴∠AP'B＝∠AP'P+∠BP'P＝135°，

∵∠AP'B＝∠BPC，

∴∠BPC＝135°；

（3）如图5，将△BQC绕点B逆时针旋转90°，得到△BQ'A，连接QQ'，

∴BQ＝BQ'＝b，∠QBQ'＝90°，∠AQ'B＝∠BQC＝135°，QC＝AQ'＝c，

∴QQ'＝b，∠BQ'Q＝45°，

∴∠AQ'Q＝∠AQ'B﹣∠BQ'Q＝90°，

∴AQ2＝Q'A2+Q'Q2，

∴a2＝c2+2b2．