题目内容
【题目】如图,二次函数y=x2+bx﹣3的图象与x轴分别相交于A、B两点,点B的坐标为(3,0),与y轴的交点为C,动点T在射线AB上运动,在抛物线的对称轴l上有一定点D,其纵坐标为2,l与x轴的交点为E,经过A、T、D三点作⊙M.
(1)求二次函数的表达式;
(2)在点T的运动过程中,
①∠DMT的度数是否为定值?若是,请求出该定值:若不是,请说明理由;
②若MT=AD,求点M的坐标;
(3)当动点T在射线EB上运动时,过点M作MH⊥x轴于点H,设HT=a,当OH≤x≤OT时,求y的最大值与最小值(用含a的式子表示).
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3(2)①在点T的运动过程中,∠DMT的度数是定值②(0,)(3)见解析
【解析】
(1)把点B的坐标代入抛物线解析式求得系数b的值即可;
(2)①如图1,连接AD.构造Rt△AED,由锐角三角函数的定义知,tan∠DAE=.即∠DAE=60°,由圆周角定理推知∠DMT=2∠DAE=120°;
②如图2,由已知条件MT=AD,MT=MD,推知MD=AD,根据△ADT的外接圆圆心M在AD的中垂线上,得到:点M是线段AD的中点时,此时AD为⊙M的直径时,MD=AD.根据点A、D的坐标求得点M的坐标即可;
(3)如图3,作MH⊥x于点H,则AH=HT=AT.易得H(a﹣1,0),T(2a﹣1,0).由限制性条件OH≤x≤OT、动点T在射线EB上运动可以得到:0≤a﹣1≤x≤2a﹣1.
需要分类讨论:(i)当,即,根据抛物线的增减性求得y的极值.
(ii)当,即<a≤2时,根据抛物线的增减性求得y的极值.
(iii)当a﹣1>1,即a>2时,根据抛物线的增减性求得y的极值.
解:(1)把点B(3,0)代入y=x2+bx﹣3,得32+3b﹣3=0,
解得b=﹣2,
则该二次函数的解析式为:y=x2﹣2x﹣3;
(2)①∠DMT的度数是定值.理由如下:
如图1,连接AD.
∵抛物线y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4.
∴抛物线的对称轴是直线x=1.
又∵点D的纵坐标为2,
∴D(1,2).
由y=x2﹣2x﹣3得到:y=(x﹣3)(x+1),
∴A(﹣1,0),B(3,0).
在Rt△AED中,tan∠DAE=.
∴∠DAE=60°.
∴∠DMT=2∠DAE=120°.
∴在点T的运动过程中,∠DMT的度数是定值;
②如图2,∵MT=AD.又MT=MD,
∴MD=AD.
∵△ADT的外接圆圆心M在AD的中垂线上,
∴点M是线段AD的中点时,此时AD为⊙M的直径时,MD=AD.
∵A(﹣1,0),D(1,2),
∴点M的坐标是(0,).
(3)如图3,作MH⊥x于点H,则AH=HT=AT.
又HT=a,
∴H(a﹣1,0),T(2a﹣1,0).
∵OH≤x≤OT,又动点T在射线EB上运动,
∴0≤a﹣1≤x≤2a﹣1.
∴0≤a﹣1≤2a﹣1.
∴a≥1,
∴2a﹣1≥1.
(i)当,即1时,
当x=a﹣1时,y最大值=(a﹣1)2﹣2(a﹣1)﹣3=a2﹣4a;
当x=1时,y最小值=4.
(ii)当,即<a≤2时,
当x=2a﹣1时,y最大值=(2a﹣1)2﹣2(2a﹣1)﹣3=4a2﹣8a.
当x=1时,y最小值=﹣4.
(iii)当a﹣1>1,即a>2时,
当x=2a﹣1时,y最大值=(2a﹣1)2﹣2(2a﹣1)﹣3=4a2﹣8a.
当x=a﹣1时,y最小值=(a﹣1)2﹣2(a﹣1)﹣3=a2﹣4a.
【题目】从一定高度落下的图钉,落地后可能图钉针尖着地.也可能图钉针尖不着地,雨薇同学在相同条件下做了这个实验.并将数据记录如下:
实验次数n | 200 | 400 | 600 | 800 | 1000 | … |
针尖着地频数m | 84 | 176 | 280 | 362 | 451 | … |
针尖着地频率 | 0.420 | 0.440 | 0.467 | 0.453 | 0.451 | … |
(1)观察针尖着地的频率是否稳定,若稳定,请写针尖着地频率的常数______(精确到0.01);若不稳定,请说明理由.
(2)假如小明同学在相同条件下做了此实验10000次,估计图钉针尖着地的次数大约是多少.