题目内容
【题目】如图,AB是⊙O的直径,AC是弦.
(1)请你按下面步骤画图(画图或作辅助线时先使用铅笔画出,确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑); 第一步,过点A作∠BAC的角平分线,交⊙O于点D;
第二步,过点D作AC的垂线,交AC的延长线于点E.
第三步,连接BD.
(2)求证:AD2=AEAB;
(3)连接EO,交AD于点F,若5AC=3AB,求 的值.
【答案】
(1)解:如图;
(2)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
而DE⊥AC,
∴∠AED=90°,
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠DAB,
∴Rt△ADE∽Rt△ABD,
∴AD:AB=AE:AD,
∴AD2=AEAB;
(3)解:连OD、BC,它们交于点G,如图,
∵5AC=3AB,即AC:AB=3:5,
∴不妨设AC=3x,AB=5x,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
又∵∠CAD=∠DAB,
∴弧DC=弧DB,
∴OD垂直平分BC,
∴OD∥AE,
∴OG= AC= x,∠AED=90°,
∴四边形ECGD为矩形,
∴CE=DG=OD﹣OG= x﹣ x=x,
∴AE=AC+CE=3x+x=4x,
∵AE∥OD,
∴△AEF∽△DOF,
∴AE:OD=EF:OF,
∴EF:OF=4x: x=8:5,
∴ .
【解析】(1)根据基本作图作出∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D;点D作AC的垂线,垂足为点E;(2)根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°,而DE⊥AC,则∠AED=90°,又由AD平分∠CAB得到∠CAD=∠DAB,根据相似三角形的判定得到Rt△ADE∽Rt△ABD,根据相似的性质得到AD:AB=AE:AD,利用比例的性质即可得到AD2=AEAB;(3)连OD、BC,它们交于点G,由5AC=3AB,则不妨设AC=3x,AB=5x,根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°,由∠CAD=∠DAB得到弧DC=弧DB,根据垂径定理的推论得到OD垂直平分BC,则有OD∥AE,OG= AC= x,并且得到四边形ECGD为矩形,则CE=DG=OD﹣OG= x﹣ x=x,可计算出AE=AC+CE=3x+x=4x,利用AE∥OD可得到△AEF∽△DOF,则AE:OD=EF:OF,即EF:OF=4x: x=8:5,然后根据比例的性质即可得到 的值.