题目内容
【题目】平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（a 
，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k关联点”．
（1）求点P（﹣2，3）的“2关联点”P′的坐标；
（2）若a、b为正整数，点P的“k关联点”P′的坐标为（3，6），求出k及点P的坐标；
（3）如图，点Q的坐标为（0，4 
），点A在函数y=﹣ 
（x＜0）的图象上运动，且点A是点B的“﹣ 关联点”，当线段BQ最短时，求B点坐标．
【答案】
（1）解：∵x=﹣2+ 
=﹣ 
，y=2×（﹣2）+3=﹣1，
∴P′（﹣ ，﹣1）；
（2）解：设P（a，b），则P′（a 
，ka+b）
∴ 
，
∴k=2，
∴2a+b=6．
∵a、b为正整数
∴P′（1，4）、（2，2）；
（3）解：∵B的“﹣ 
关联点”是A，
∴A（a﹣ 
，﹣ a+b），
∵点A还在反比例函数y=﹣ 
的图象上，
∴（﹣ a+b）（a﹣ ）=﹣4 ，
∴（b﹣ a）2=12，
∵b﹣ a＞0，
∴b﹣ a=2 ，
∴b= a+2 ；
∴B在直线y= x+2 上．
过Q作y= x+2 的垂线QB1，垂足为B1， 
∵Q（0，4 ），且线段BQ最短，
∴B1即为所求的B点，
由△MB1Q∽△MON 得 
，
∵ON=2，OM=2 ，
∴MN=4．
又∵MQ=2 ，
∴B1Q= ，MB1=3
在Rt△MB1Q中，B1QMB1=MQhB1，
∴hB1= ，
∴xB1= ，
∴B（ ， 
）．
【解析】（1）根据新定义求出P′的坐标。
（2）根据新定义，建立方程组，就可以求出k及点P的坐标。
（3）根据题意表示出点A的坐标，再代入反比例函数求得b的值，从而求得点B在一次函数图像上，过Q作y= x+2 的垂线QB1，垂足为B1， 则线段BQ最短，B1即为所求的B点，然后由△MB1Q∽△MON 得对应边成比例，求出MN、B1Q、MB1的长，再利用三角形的面积公式即可求出点B的坐标。
【考点精析】关于本题考查的反比例函数的图象和垂线段最短，需要了解反比例函数的图像属于双曲线．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．有两条对称轴：直线y=x和 y=-x．对称中心是：原点；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用才能得出正确答案．
