Question

【题目】(1)已知在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形(请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数)．

(2)已知在△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．

Answer 1

【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．

【解析】试题分析：（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．
（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．

试题解析：(1)如图①②(共有2种不同的分割法)．

(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D.

在△DBC中，

①若∠C是顶角，如图，则∠CBD＝∠CDB＝90°－x，∠A＝180°－x－y.

故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，

即180°－x－y＝y－，

∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－∠C.

②若∠C是底角，

第一种情况：如图，当DB＝DC时，∠DBC＝x.在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x.

若AB＝AD，则2x＝y－x，此时有y＝3x，

∴∠ABC＝3∠C.

若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C.

若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．

第二种情况：如图，

当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能有AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝∠BDC＝∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．

∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．

综上所述，∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．