题目内容
【题目】在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．
（1）如图1，当t=3时，求DF的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．
（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．
【答案】（1）3；（2）∠DEF的大小不变，tan∠DEF=
；（3）
或
．
【解析】试题（1）当t=3时，点E为AB的中点，由三角形的中位线定理得出DE∥EA，DE=
OA=4，再由矩形的性质证出DE⊥AB，得出∠OAB=∠DEA=90°，证出四边形DFAE是矩形，得出DF=AE=3即可；
（2）作DM⊥OA于点M，DN⊥AB于N，证明四边形DMAN是矩形，得出∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，由平行线得出比例式
，
，由三角形中位线定理得出DM=AB=3，DN=OA=4，证明ΔDMF∽ΔDNE，得出
，再由三角函数的定义即可得解；
（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，若AD将ΔDEF的面积分为1:2的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点.
①当点E到达中点之前时，NE=3-t，由ΔDMF∽ΔDNE得：MF＝
，求出AF=4+MF=
，得出G（
，
），求出直线AD的解析式为y=-
+6，把G（，）代入即可求出t的值；
②当点超过中点之后，NE＝t-3，由由ΔDMF∽ΔDNE得：MF＝
，求出AF=4-MF=，得出G（
，
），代入直线AD的解析式y=-+6即可求出t的值；
试题解析： （1）当t=3时，点E为AB的中点，
∵A（8，0），C（0，6），
∴OA=8，OC=6，
∵点D为OB的中点，
∴DE∥OA，DE=OA=4，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴DE⊥AB，
∴∠OAB=∠DEA=90°，
又∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴四边形DFAE是矩形，
∴DF=AE=3；
（2）∠DEF的大小不变；理由如下：
作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如图2所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴四边形DMAN是矩形，
∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，
∴，，
∵点D为OB的中点，
∴M、N分别是OA、AB的中点，
∴DM=AB=3，DN=OA=4，
∵∠EDF=90°，
∴∠FDM=∠EDN，
又∵∠DMF=∠DNE=90°，
∴△DMF∽△DNE，
∴，
∵∠EDF=90°，
∴tan∠DEF=
；
（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，
若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，
设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；
①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3﹣t，
由△DMF∽△DNE得：MF=
（3﹣t），
∴AF=4+MF=﹣t+
，
∵点G为EF的三等分点，
∴G（，），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
把A（8，0），D（4，3）代入得：
，
解得：
，
∴直线AD的解析式为y=﹣x+6，
把G（，）代入得：t=
；
②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t﹣3，
由△DMF∽△DNE得：MF=（t﹣3），
∴AF=4﹣MF=﹣t+，
∵点G为EF的三等分点，
∴G（，），
代入直线AD的解析式y=﹣x+6得：t=
；
综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为或.
