题目内容

【题目】已知Rt△ABC,∠C=90°,AB=10,且cosA=. M为线段AB的中点, 作DM⊥AB交AC于D. 点Q在线段AC上,点P在线段BC上,以PQ为直径的圆始终过点M, 且PQ交线段DM于点E.

⑴ 试说明△AMQ∽△PME;

⑵ 当△PME是等腰三角形时,求出线段AQ的长.

【答案】(1)证明见解析(2)5或

【解析】(1) 连接MC ,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得到MC=MA=AB,由同弧所对的圆周角相等推出∠A=∠EPM ,再利用同角的余角相等,即可求解; (2)分三种情况讨论:当AM=AQ; QA=QM时; MQ=AM.

⑴ 连接MC,

∵∠C=90°,M是AB中点, ∴MC=MA=,

∴∠A=∠MCA,

∵∠MCA=∠EPM, ∴∠A=∠EPM.

PQ为直径 ,

∴∠PMQ=90°.

∴∠PME+∠QME =90°.

∵DM⊥AB,

∴∠AMD=90°.∴∠AMQ +∠QME =90°.

∴∠AMQ=∠PME,

∴△AMQ∽△PME

⑵AB=10,M为线段AB的中点,∴AM=5,AD===

当△AMQ等腰三角形时,△MPE也是等腰三角形.

当AM=AQ时,AQ=5;

当QA=QM时,AQ=

由题意MQ≠.

综上所述,当△MPE是等腰三角形时,线段AQ长为.

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