题目内容

【题目】如图,分别以的斜边,直角边为边向外作等边的中点,相交于点.若∠BAC=30°,下列结论:①;②四边形为平行四边形;③;④.其中正确结论的序号是______.

【答案】①②③④

【解析】

首先证明证明RtADFRtBAC,结合已知得到AE=DF,然后根据内错角相等两直线平行得到DFAE,由一组对边平行且相等可得四边形ADFE是平行四边形,故②正确;由∠DAC=DAB+BAC=90°,可得∠AHE=90°,故①正确;由2AG=AF可知③正确;在RtDBFRtEFA中,BDFEDFEA,可证RtDBFRtEFA,故④正确.

∵△ABDACE都是等边三角形,
AD=BD=ABAE=CE=AC,∠ADB=BAD=DBA=CAE=AEC=ACE=60°
FAB的中点,

∴∠BDF=ADF=30°,∠DFA=DFB=90°BF=AF=AB
∵∠BAC=30°,∠ACB=90°AD=2AF
BC=AB,∠ADF=BAC
AF=BF=BC
RtADFRtBAC
ADBA AFBC
RtADFRtBACHL),
DF=AC
AE=DF
∵∠BAC=30°
∴∠BAC+CAE=BAE=90°
∴∠DFA=EAB
DFAE
∴四边形ADFE是平行四边形,故②正确;

AD=EFADEF

ACEF于点H
∴∠DAC=AHE
∵∠DAC=DAB+BAC=90°
∴∠AHE=90°
EFAC.①正确;
∵四边形ADFE是平行四边形,
2GF=2GA=AF
AD=4AG.故③正确.
RtDBFRtEFA
BDFEDFEA
RtDBFRtEFAHL).故④正确,
故答案为:①②③④.

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