Question

如图1，矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，点E（m，1）是对角线BD的中点，点A、E在反比例函数y=

k

x

的图象上．
（1）求AB的长；
（2）当矩形ABCD是正方形时，将反比例函数y=

k

x

的图象沿y轴翻折，得到反比例函数y=

k1

x

的图象（如图2），求k₁的值；
（3）直线y=-x上有一长为

2

动线段MN，作MH、NP都平行y轴交在条件（2）下，第一象限内的双曲线y=

k

x

于点H、P，问四边形MHPN能否为平行四边形（如图3）？若能，请求出点M的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点E作EF⊥BC于F，可证EF为△BCD的中位线，根据三角形的中位线定理即可求出AB的长；
（2）当矩形ABCD是正方形时，由（1）知，BC=AB=2．先用含m的代数式表示点A的坐标，再根据点A、E在反比例函数y=

k

x

的图象上，列方程求出m的值，然后由轴对称的性质即可求出k₁的值；
（3）过点N作NG⊥HM于G，易求MG=NG=1．设M（a，-a），则可用含a的代数式分别表示点N、P、H的坐标，由MH=NP列出关于a的方程，求解即可．

解答：解：（1）如图，过点E作EF⊥BC于F，则EF=1．
∵点E是对角线BD的中点，
∴F为BC的中点，EF为△BCD的中位线，
∴CD=2EF=2．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2；

（2）由（1）知，AB=CD=2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB=2，∴BF=FC=1．
∵E（m，1），
∴F（m，0），B（m-1，0），A（m-1，2），
∵点A、E在反比例函数y=

k

x

的图象上，
∴k=2（m-1）=m×1，
解得m=2，k=2，
∴点A、E在反比例函数y=

2

x

的图象上．
∵将反比例函数y=

2

x

的图象沿y轴翻折，得到反比例函数y=

k1

x

的图象，
∴k₁=-2；

（3）四边形MHPN能为平行四边形．理由如下：
过点N作NG⊥HM于G，则∠MGN=90°．
∵点M、N在直线y=-x上，
∴∠MNG=45°，
∴MG=NG，
又∵MN=

2

，
∴MG=NG=1．
设M（a，-a），则N（a+1，-a-1）．
∵MH、NP都平行y轴，且点H、P都在双曲线y=

2

x

的图象上，
∴H（a，

2

a

），P（a+1，

2

a+1

）．
∵MH∥NP，
∴当MH=NP时，四边形MHPN为平行四边形，
此时

2

a

+a=

2

a+1

+a+1，
整理得a²+a-2=0，解得a=1，a=-2（舍去）．
∴点M的坐标为（1，-1）．
故四边形MHPN能为平行四边形，此时点M的坐标为（1，-1）．

点评：考查了反比例函数综合题，其中有三角形的中位线定理，矩形和正方形的性质，反比例函数和正比例函数，平行四边形的判定，解方程，有一定的难度．