Question

【题目】如图，抛物线y=﹣ x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣ x2+mx+n中得：

，

解得： ，

∴抛物线的表达式为：

（2）

解： =﹣ （x﹣ ）2+ ；

∴D（ ，0），

在Rt△OCD中，OC=2，OD= ，

由勾股定理得：CD= = ，

①当CD=DP1时，△PCD是等腰三角形，

∴P1（ ， ），

②当CD=DP2时，△PCD是等腰三角形，

∴P2（ ，﹣ ），

③当CD=CP3时，△PCD是等腰三角形，

过C作CE⊥DP1于E，

∵C（0，2），

∴DE=OC=2，

∵CD=CP3，

∴DE=P3E=2，

∴P3（ ，4），

综上所述，P点的坐标为：P1（ ， ），P2（ ，﹣ ），P3（ ，4）

（3）

解：如图2，

∵A（﹣1，0），对称轴是：x= ，

∴B（4，0），

设BC的解析式为：y=kx+b，

把B（4，0），C（0，2）代入得： ，

解得： ，

∴BC的解析式为：y=﹣ x+2，

设E ，F（ ，

∴EF=﹣ ﹣（﹣ m+2）=﹣ +2m，

∴S四边形BDCF=S△BCD+S△BFC= BDOC+ EFOB= × ×2+ （﹣ +2m）×4，

S=﹣m2+4m+2.5，

=﹣（m﹣2）2+6.5（0＜m＜4），

当m=2时，﹣ m+2=﹣ ×2+2=1，

∴当m=2时，四边形CDBF的面积最大，最大为6.5，此时E（2，1）．

【解析】（1）利用待定系数法求抛物线的表达式；（2）以CD为腰的等腰三角形有三个：①②以D为圆心，以CD为半径画弧交对称轴于P1、P2 ， ③以C为圆心，以CD为半径画弧，交对称轴于P3 ， 分别求出这三个点的坐标；（3）先根据对称性求点B的坐标为（4，0），再求直线BC的解析式，设出点E和F的坐标，表示EF的长；则四边形BDCF的面积等于两个三角形面积的和，其中△BDC是定值，△BFC的面积=铅直高度与水平宽度的积，代入面积公式可求得S的解析式，求最值即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的图象(二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点)，还要掌握二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)的相关知识才是答题的关键．