题目内容
【题目】如图，经过正方形ABCD的顶点A在其外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE、DE，其中DE交直线AP于点F．
（1）依题意补全图1．
（2）若∠PAB＝30°，求∠ADF的度数．
（3）如图，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）∠ADF＝15°；（3）EF2+FD2＝2AB2，见解析.
【解析】
（1）过B作AP的垂线段，并延长至E，使B、E到AP的垂线段相等，得出B的对称点E，连接BE、DE即可；
（2）连接AE，由轴对称的性质得出∠PAB=∠PAE=30°，AE=AB=AD，得出∠AED=∠ADF，求出∠EAD=150°，即可求出∠ADF的度数；
（3）连接AE、BF、BD，由轴对称的性质得出EF=BF，AE=AB=AD，得出∠ABF=∠AEF=∠ADF，求出∠BFD=∠BAD=90°，根据勾股定理得出BF2+FD2=BD2，即可得出结论．
解：（1）如图1、图2所示：
（2）连接AE，如图3所示：
∵点B关于直线AP的对称点为E，
则∠PAB＝∠PAE＝30°，AE＝AB＝AD，
∴∠AED＝∠ADF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠EAD＝90°+30°+30°＝150°，
∴∠ADF＝
（180°﹣∠EAD）＝15°；
（3）连接AE、BF、BD，如图4所示：
则EF＝BF，AE＝AB＝AD，
∴∠EBF＝∠BEF，∠ABE＝∠AEB
∴∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，
∴∠BFD＝∠BAD＝90°，
∴BF2+FD2＝BD2，
∵AB2+AD2＝2AB2，EF＝BF，
∴EF2+FD2＝AB2+AD2＝2AB2，
即EF2+FD2＝2AB2．
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