题目内容
【题目】已知，在平面直角坐标系内一直线l1:y=-x+3分别与x轴、y轴交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，y轴右侧部分抛物线上有一动点C，过点C作y轴的平行线交直线l1于点D.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，C在第一象限，求以CD为直径的⊙E的最大面积，并判断此时⊙E与抛物线的对称轴是否相切？若不相切，求出使得⊙E与该抛物线对称轴相切时点C的横坐标；
（3）坐标平面内是否存在点M，使B、C、D、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标；不存在，请说明理由.
【答案】(1)
；（2）不相切， C的横坐标分别为2和
；（3）M（0,1），（2,3）（0,1-3
），（0,1+3）.
【解析】
（1）直线l1:y=-x+3分别与x轴、y轴交于A、B两点，可求得A、B两点坐标代入
y=-x2+bx+c，可求得抛物线的函数表达式;
（2）①设直线CD的横坐标为t，0＜t＜3,可求得CD的长度表达式，可求得CD的最大值及与圆不相切；②分当CD在对称轴右边时与左边讨论，可得C的横坐标；
(3)根据菱形的性质直接写出点M的坐标即可.
解：（1）直线l1:y=-x+3分别与x轴、y轴交于A、B两点，可得A点（3，0），B点（0，3），将A、B两点坐标代入y=-x2+bx+c，可得
，可得b=2，c=3
抛物线的函数表达式；
（2）①可得抛物线对称轴为：
1，
C在第一象限,以CD为直径的⊙E的最大面积，即CD最长时，圆的面积最大，
设直线CD的横坐标为t，0＜t＜3，
D点坐标（t，-t+3），C点坐标（t，-t
+2t+3），
=-t+2t+3-(-t+3)= -t+3t（0＜t＜3），
当t=
=
时，CD最长，此时CD最长为
，
此时圆E的半径为
，此时CD与对称轴的距离为-1=
≠，
故不相切.
②当CD在对称轴右边时，即1＜t＜3时
= -t+3t（1＜t＜3）；圆E的半径为t-1，
可得=2r；-t+3t=2（t-1），解得：
=-1（舍去）；
=2；
当CD在对称轴左边时，即即0＜t＜1时，
有-t+3t=2（1-t），解得：
（舍去），
；
综上所述：t=2或t=，⊙E与该抛物线对称轴相切.
(3)存在，由菱形性质可得M点坐标（0,1），（2,3）（0,1-3），（0,1+3）.
举一反三单元同步过关卷系列答案
