题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O是原点,矩形OABC的顶点Ax轴的正半轴上,顶点Cy的正半轴上,点B的坐标是(5,3),抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点,与x轴的另一个交点是点D,连接BD.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点M是抛物线对称轴上的一点,以M、B、D为顶点的三角形的面积是6,求点M的坐标;

(3)点P从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动,同时点Q从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动,当点P到达点B时,P、Q同时停止运动,设运动的时间为t秒,当t为何值时,以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?请直接写出所有符合条件的值.

【答案】(1)y=x2x+3;(2)M的坐标为(3,)或(3,);(3)t= ,t=t=时,以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形.

【解析】

(1)求出点A、C的坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式;

(2)如答图1所示,关键是求出MG的长度,利用面积公式解决;注意,符合条件的点M2个,不要漏解;

(3)△DPQ为等腰三角形,可能有三种情形,需要分类讨论:

①若PD=PQ,如答图2所示;

②若PD=DQ,如答图3所示;

③若PQ=DQ,如答图4所示.

(1)∵矩形ABCD,B(5,3),

∴A(5,0),C(0,3).

∵点A50),C03)在抛物线y=x2+bx+c上,

,解得:b=,c=3.

抛物线的解析式为:y=x2x+3.

(2)如答图1所示,

∵y=x2x+3=(x﹣3)2

抛物线的对称轴为直线x=3.

如答图1所示,设对称轴与BD交于点G,与x轴交于点H,则H(3,0).

y=0,即x2x+3=0,解得x=1x=5.

∴D(1,0),∴DH=2,AH=2,AD=4.

tanADB=,∴GH=DHtanADB=2×

∴G(3,).

∵SMBD=6,即SMDG+SMBG=6,

MGDH+MGAH=6,

即:MG×2+MG×2=6,

解得:MG=3.

M的坐标为(3,)或(3,-).

3)在RtABD中,AB=3AD=4,则BD=5,∴sinB=,cosB=

D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形,则:

PD=PQ,如答图2所示:

此时有PD=PQ=BQ=t,过点QQE⊥BD于点E,

BE=PE,BE=BQcosB=t,QE=BQsinB=t,

∴DE=t+t=t.

由勾股定理得:DQ2=DE2+QE2=AD2+AQ2

即(t)2+(t)2=42+(3﹣t)2

整理得: t2+6t﹣25=0,

解得:t=t=﹣5(舍去),

∴t=

PD=DQ,如答图3所示:

此时PD=t,DQ=AB+AD﹣t=7﹣t,

∴t=7﹣t,

t=

PQ=DQ,如答图4所示:

∵PD=t,∴BP=5﹣t;

∵DQ=7﹣t,∴PQ=7﹣t,AQ=4﹣(7﹣t)=t﹣3.

过点PPF⊥AB于点F,则PF=PBsinB=(5﹣t)×=4﹣t,BF=PBcosB=(5﹣t)×=3﹣t.

∴AF=AB﹣BF=3﹣(3﹣t)=t.

过点PPE⊥AD于点E,则PEAF为矩形,

∴PE=AF=t,AE=PF=4﹣t,∴EQ=AQ﹣AE=(t﹣3)﹣(4﹣t)=t﹣7.

Rt△PQE中,由勾股定理得:EQ2+PE2=PQ2

即:(t﹣7)2+(t)2=(7﹣t)2

整理得:13t2﹣56t=0,

解得:t=0(舍去)或t=

∴t=

综上所述,当t=,t=t=时,以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形.

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