题目内容
【题目】某公司开发了一种新型的家电产品,又适逢“家电下乡”的优惠政策.现投资万元用于该产品的广告促销,已知该产品的本地销售量(万台)与本地的广告费用(万元)之间的函数关系满足.该产品的外地销售量(万台)与外地广告费用(万元)之间的函数关系可用如图所示的抛物线和线段来表示.
其中点为抛物线的顶点.
结合图象,求出(万台)与外地广告费用(万元)之间的函数关系式;
求该产品的销售总量(万台)与本地广告费用(万元)之间的函数关系式;
如何安排广告费用才能使销售总量最大?
【答案】当时,;当时,; 见解析;本地广告费用为15万元,外地广告费用为25万元.
【解析】
(1)分段求解,当0≤t≤25时,已知顶点A坐标,设顶点式解析式,代入已知点(0,60)即可求解;当25<t≤40时,y=122.5;
(2)由题意可得t=40-x,根据t的取值范围可确定x的取值范围为0≤x<15、15≤x<25、25≤x≤40,则y=y1+y2,按照x的范围分别求解.
(3)由上述所求表达式分别计算每段函数的最大值,再取三个数值中的最大值即可.
由函数图象可知,
当时,函数图象为抛物线的一部分,
设解析式为,
把代入解析式得,
;
当时,
;
由题意可得t=40-x,根据t的取值范围得:
时,;
时,;
时,
.
时,最大y=3×15+122.5=167.5,
时,最大y=-0.1×625+122.5=60,
时,最大y=-0.1×625+125=62.5,
故当x=15时,y值最大,
故,本地广告费用为15万元,外地广告费用为25万元.
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