题目内容
【题目】如图,在矩形ABCD中,P是AD上一动点,O为BD的中点,连接PO并延长,交BC于点Q.
(1) 求证:四边形PBQD是平行四边形
(2) 若AD=6cm,AB=4cm, 点P从点A出发,以1cm/s的速度向点D运动(不与点D重合),设点P运动时间为t s , 请用含t的代数式表示PD的长,并求出当t为何值时,四边形PBQD是菱形。并求出此时菱形的周长。
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】(1) ∵四边形ABCD是矩形
∴AD ∥BC
∴∠PDO=∠QBO (1分)
∵O是BD的中点,∴OB=OD
∵∠POD=∠QOB
∴△POD≌△QOB (2分)
∴ OP=OQ ∴四边形PBQD是平行四边形 (2分)
(2)依题意得,AP=tcm, 则PD=(6-t) cm (1分)
当四边形PBQD是菱形时,有PB=PD=(6-t) cm (1分)
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=90°
在Rt△ABP中, AB=4
∴解得
(3分)
所以运动的时间为时,四边形PBQD是菱形。(1分)
∴此时菱形的周长为(cm)
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