题目内容
【题目】定义：如图1，对于直线
同侧的
、
两点，若在上的点
满足
，则称为、两点在上的反射点，
与
的和称为、两点的反射距离．
（1）如图2，在边长为2的正方形
中，
为
的中点，为、两点在直线
上的反射点，求、两点的反射距离；
（2）如图3，
内接于
，直径
为4，
，点
为劣弧上一动点，点为
、两点在上的反射点，当、两点的反射距离最大时，求劣弧
的长；
（3）如图4，在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴正半轴交于点，顶点为，若点为点、在
上的反射点，同时点为点、在
上的反射点．
①请判断线段
和的位置关系，并给出证明；
②求、两点的反射距离与、两点的反射距离的比值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）①
，证明见解析；②
【解析】
（1）延长
交
的延长线于点
，根据题意得出
，结合公共边和直角相等证明
，然后进一步根据勾股定理求解即可；
（2）作点
关于
的对称点
，由此得出
，进一步证明
、
、三点共线，然后利用当
经过圆心
时，反射距离最大进一步求解即可；
（3）①根据题意得出点A、B的坐标，延长
交
轴于点
，作
交
延长线于点
，根据三角形内角和定理进一步求出∠CHD是直角，由此证明结论即可；②根据题意先后证明
、
，利用全等三角形性质得出点C是OB中点，根据勾股定理求出BM，然后过C点作
于点G，进一步通过证明得出
，利用相似三角形性质求出ON，再根据勾股定理求出AN，据此进一步求解即可.
（1）如图，延长交的延长线于点，
∵
，
，
∴，
又∵
，
，
∴，
∴
，
，
∴
；
（2）如图，作点关于的对称点，
则
，
∴ ，
又∵
，，
∴，
∴、、三点共线，
∴当经过圆心时，反射距离最大．
此时点与点重合，求得：
，
∴劣弧
；
（3）①如图延长交轴于点，作交延长线于点，
由题可得：
，
，
∴∠1=45°，
设∠ACB=∠DCO=
，∠CDO=∠BDA=，
∵
，∠1=45°，
∴
，
，
，
∴
，
∴；
②∵
，
∴
，
∵点B为抛物线顶点，
∴B点在OA的垂直平分线上，
∴OB=AB，
∵∠1=45°，
∴∠ABC=90°，
在△BOM与△ABC中，
∵，OB=BA，∠BOM=∠CBA，
∴△BOM△ABC，
∴
，
∵∠1=45°，
∴∠MOD=∠1=45°，
∵∠MDO=∠BDA，∠BDA=∠CDO，
∴∠MDO=∠CDO，
在△CDO与△MDO中，
∵∠1=∠MOD，OD=OD，∠MDO=∠CDO，
∴△CDO△MDO，
∴
，
则为
的中点，
，
过C点作于点G，则
，
，
∵，
∴CG∥OA，
∴△NGC~△NOA，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
.
