题目内容
【题目】如图,把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD对折,使得点C落在点F处,DF交AB于E,AD=8,AB=16.
(1)求证:DE=BE;
(2)求S△BEF;
(3)若M、N分别为线段CD、DB上的动点,直接写出(NC+NM)的最小值___________.
【答案】(1)证明见解析;(2)S△BDE=40;(3)12.8.
【解析】
(1)由折叠的性质可得到∠BDC=∠BDF,再由平行线的性质可得∠ABD=∠BDC,由此可得∠ABD=∠BDF,据此即可得结论;
(2)设BE=x,则DE=BE=x,AE=16-x,利用勾股定理即可求出BE的长,再利用三角形面积公式进行求解即可得答案;
(3)由题意知C、F关于直线BD对称,过点F作FM⊥CD,垂足为M,交BD于点N,交AB于点H,此时MN+NC的值最小,求出FH的长即可求得答案.
(1)∵△BCD≌△BFD,
∴∠BDC=∠BDF,
又∵四边形ABCD是长方形,
∴AB∥DC,
∴∠ABD=∠BDC,
∴∠ABD=∠BDF,
∴DE=BE;
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,
∴AD2+AE2=DE2,
设BE=x,则DE=BE=x,AE=AB-BE=16-x,
∴82+(16-x)2=x2,
∴x=10,
∴S△BDE==40;
(3)由题意知C、F关于直线BD对称,过点F作FM⊥CD,垂足为M,交BD于点N,交AB于点H,此时MN+NC的值最小,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB//CD,∠A=∠ADM=90°,
∵FM⊥CD,
∴∠FMD=90°,
∴四边形ADMH是矩形,
∴∠FHE=90°,HM=AD=8,
∵∠A=∠BFE=90°,AD=BF,DE=BE,
∴Rt△ADE≌Rt△FBE(HL),
∴EF=AE=16-10=6,
∵S△BEF=,
∴FH==4.8,
∴FM=FH+HM=4.8+8=12.8,
即NC+NM的最小值为12.8,
故答案为:12.8.
