题目内容
【题目】如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD对折，使得点C落在点F处，DF交AB于E，AD=8，AB=16.
（1）求证：DE=BE；
（2）求S△BEF；
（3）若M、N分别为线段CD、DB上的动点，直接写出（NC+NM）的最小值___________.
【答案】（1）证明见解析；（2）S△BDE=40；（3）12.8.
【解析】
（1）由折叠的性质可得到∠BDC=∠BDF，再由平行线的性质可得∠ABD=∠BDC，由此可得∠ABD=∠BDF，据此即可得结论；
（2）设BE=x，则DE=BE=x，AE=16-x，利用勾股定理即可求出BE的长，再利用三角形面积公式进行求解即可得答案；
（3）由题意知C、F关于直线BD对称，过点F作FM⊥CD，垂足为M，交BD于点N，交AB于点H，此时MN+NC的值最小，求出FH的长即可求得答案.
（1）∵△BCD≌△BFD，
∴∠BDC=∠BDF，
又∵四边形ABCD是长方形，
∴AB∥DC，
∴∠ABD=∠BDC，
∴∠ABD=∠BDF，
∴DE=BE；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴AD2+AE2=DE2，
设BE=x，则DE=BE=x，AE=AB-BE=16-x，
∴82+（16-x）2=x2，
∴x=10，
∴S△BDE=
=40；
（3）由题意知C、F关于直线BD对称，过点F作FM⊥CD，垂足为M，交BD于点N，交AB于点H，此时MN+NC的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，∠A=∠ADM=90°，
∵FM⊥CD，
∴∠FMD=90°，
∴四边形ADMH是矩形，
∴∠FHE=90°，HM=AD=8，
∵∠A=∠BFE=90°，AD=BF，DE=BE，
∴Rt△ADE≌Rt△FBE（HL），
∴EF=AE=16-10=6，
∵S△BEF=
，
∴FH=
=4.8，
∴FM=FH+HM=4.8+8=12.8，
即NC+NM的最小值为12.8，
故答案为：12.8.
