题目内容

【题目】如图,等腰RtABC中,斜边AB的长为2,OAB的中点,PAC边上的动点,OQOPBC于点Q,MPQ的中点,当点P从点A运动到点C时,点M所经过的路线长为(  )

A. B. C. 1 D. 2

【答案】C

【解析】连接OC,作PEABE,MHABH,QFABF,如图,利用等腰直角三角形的性质得AC=BC=A=B=45°,OCAB,OC=OA=OB=1,OCB=45°,再证明RtAOP≌△COQ得到AP=CQ,接着利用APEBFQ都为等腰直角三角形得到PE=AP=CQ,QF=BQ,所以PE+QF=BC=1,然后证明MH为梯形PEFQ的中位线得到MH=,即可判定点MAB的距离为,从而得到点M的运动路线为ABC的中位线,最后利用三角形中位线性质得到点M所经过的路线长.

连接OC,作PEABE,MHABH,QFABF,如图,

∵△ACB为到等腰直角三角形,

AC=BC=AB=A=B=45°,

OAB的中点,

OCAB,OC平分∠ACB,OC=OA=OB=1,

∴∠OCB=45°,

∵∠POQ=90°,COA=90°,

∴∠AOP=COQ,

RtAOPCOQ

RtAOP≌△COQ,

AP=CQ,

易得APEBFQ都为等腰直角三角形,

PE=AP=CQ,QF=BQ,

PE+QF=(CQ+BQ)=BC==1,

M点为PQ的中点,

MH为梯形PEFQ的中位线,

MH=(PE+QF)=

即点MAB的距离为

CO=1,

∴点M的运动路线为ABC的中位线,

∴当点P从点A运动到点C时,点M所经过的路线长=AB=1,

故选C.

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