题目内容
【题目】如图,等腰Rt△ABC中,斜边AB的长为2,O为AB的中点,P为AC边上的动点,OQ⊥OP交BC于点Q,M为PQ的中点,当点P从点A运动到点C时,点M所经过的路线长为( )
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】连接OC,作PE⊥AB于E,MH⊥AB于H,QF⊥AB于F,如图,利用等腰直角三角形的性质得AC=BC=,∠A=∠B=45°,OC⊥AB,OC=OA=OB=1,∠OCB=45°,再证明Rt△AOP≌△COQ得到AP=CQ,接着利用△APE和△BFQ都为等腰直角三角形得到PE=AP=CQ,QF=BQ,所以PE+QF=BC=1,然后证明MH为梯形PEFQ的中位线得到MH=,即可判定点M到AB的距离为,从而得到点M的运动路线为△ABC的中位线,最后利用三角形中位线性质得到点M所经过的路线长.
连接OC,作PE⊥AB于E,MH⊥AB于H,QF⊥AB于F,如图,
∵△ACB为到等腰直角三角形,
∴AC=BC=AB=,∠A=∠B=45°,
∵O为AB的中点,
∴OC⊥AB,OC平分∠ACB,OC=OA=OB=1,
∴∠OCB=45°,
∵∠POQ=90°,∠COA=90°,
∴∠AOP=∠COQ,
在Rt△AOP和△COQ中
,
∴Rt△AOP≌△COQ,
∴AP=CQ,
易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形,
∴PE=AP=CQ,QF=BQ,
∴PE+QF=(CQ+BQ)=BC==1,
∵M点为PQ的中点,
∴MH为梯形PEFQ的中位线,
∴MH=(PE+QF)=,
即点M到AB的距离为,
而CO=1,
∴点M的运动路线为△ABC的中位线,
∴当点P从点A运动到点C时,点M所经过的路线长=AB=1,
故选C.