Question

已知抛物线y=x²-mx+m-2．
（1）求证：此抛物线与x轴有两个不同的交点；
（2）若m是整数，抛物线y=x²-mx+m-2与x轴交于整数点，求m的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B．若m为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标．

Answer 1

（1）证明：令y=0，则x²-mx+m-2=0．
因为△=m²-4m+8=（m-2）²+4＞0，（1分）
所以此抛物线与x轴有两个不同的交点．（2分）

（2）因为关于x的方程x²-mx+m-2=0的根为x=

m± (-m)2-4(m-2)

2

=

m± (m-2)2+4

2

，
由m为整数，当（m-2）²+4为完全平方数时，此抛物线与x轴才有可能交于整数点．
设（m-2）²+4=n²（其中n为整数），（3分）
则[n+（m-2）][n-（m-2）]=4
因为n+（m-2）与n-（m-2）的奇偶性相同，
所以

n+m-2=2 n-m+2=2

或

n+m-2=-2 n-m+2=-2

解得m=2．
经过检验，当m=2时，方程x²-mx+m-2=0有整数根．
所以m=2．（5分）

（3）当m=2时，
此二次函数解析式为y=x²-2x=（x-1）²-1，
则顶点坐标为（1，-1）．
抛物线与x轴的交点为O（0，0）、B（2，0）．
设抛物线的对称轴与x轴交于点M₁，则M₁（1，0）．
在直角三角形AM₁O中，由勾股定理，得AO=

2

．
由抛物线的对称性可得，AB=AO=

2

．
又因为(

2

)2+(

2

)2=22，即OA²+AB²=OB²．
所以△ABO为等腰直角三角形．（6分）
则M₁A=M₁B．
所以M₁（1，0）为所求的点．（7分）
若满足条件的点M₂在y轴上时，
设M₂坐标为（0，y），
过A作AN⊥y轴于N，连接AM₂、BM₂，则M₂A=M₂B．
由勾股定理，
即M₂A²=M₂N²+AN²；M₂B²=M₂O²+OB²，
即（y+1）²+1²=y²+2²．
解得y=1．
所以M₂（0，1）为所求的点．（8分）
综上所述，满足条件的M点的坐标为（1，0）或（0，1）．