Question

【题目】如图，在△ABC中，O是AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.

（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；

（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形且，求∠B的大小.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：（1）根据MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD及等角对等边即可证得OE=OF；

（2）根据矩形的性质可知：对角线且互相平分，即AO=CO，OE=OF，故当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形；

（3）当四边形AECF是正方形时，可得：AO⊥EF，又BC∥EF，则AC⊥BC，在正方形AECF中，AC=AE，根据，可得：tanB=，故∠B=60°．

解：（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，

∴OE=OC，OC=OF，

∴OE=OF．

（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，

∵AO=CO，OE=OF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵∠ECA+∠ACF=∠BCD，

∴∠ECF=90°，

∴四边形AECF是矩形．

（3）当四边形AECF是正方形时，AO⊥EF，AC=AE，

∵BC∥EF，

∴AC⊥BC.

∵，

∴BC= AE，

∴tanB=，

∴∠B=60°．