题目内容
【题目】某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，试销中每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足下表中的函数关系．
x（元/件） | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 |
y（件） | 550 | 500 | 450 | 400 | 350 |
（1）试求y与x之间的函数表达式；
（2）设公司试销该产品每天获得的毛利润为S（元），求S与x之间的函数表达式（毛利润=销售总价﹣成本总价）；
（3）当销售单价定为多少时，该公司试销这种产品每天获得的毛利润最大？最大毛利润是多少？此时每天的销售量是多少？
【答案】
（1）解：解法1：设y与x之间的函数关系满足y=kx+b
把x=40，y=500；x=50，y=400
分别代入上式得：
，
解得 
∴y=﹣10x+900
∵表中其它对应值都满足y=﹣10x+900
∴y与x之间的函数关系为一次函数，且函数表达式为y=﹣10x+900（30≤x≤80）；
解法2：设y与x之间的函数关系满足y=ax2+bx+c
把x=35，y=550；x=40，y=500；x=50，y=400分别代入上式
得 
解，得 
∴y=﹣10x+900
∵表中其它对应值都满足y=﹣10x+900
∴y与x之间的函数关系为一次函数，且函数表达式为y=﹣10x+900（30≤x≤80）
（2）解：方法1：毛利润S=（x﹣30）y
=（x﹣30）（﹣10x+900）
=﹣10x2+1200x﹣27000（30≤x≤80）
方法2：毛利润S=xy﹣30y
=x（﹣10x+900）﹣30×（﹣10x+900）
=﹣10x2+1200x﹣27000（30≤x≤80）
（3）解：在S=﹣10x2+1200x﹣27000中
∵a=﹣10＜0，∴当 
时
∴S最大=﹣10×602+1200×60﹣27000=9000（元）
此时每天的销售量为：y=﹣10×60+900=300（件）．
∴当销售单价定为60元/件时，该公司试销这种产品每天获得的毛利润最大，最大毛利润是9000元，此时每天的销售量是300件
【解析】（1）方法一，根据图中表格可知：每天的销售单价x增加5元，销售量y减少50件，故每天的销售量y和销售单价x之间为一次函数的关系，故可用待定系数法将y与x之间的函数表达式求出；方法二，设y与x之间满足二次函数表达式，将表格中任意三个值代入，可将该函数求出；（2）方法一，根据：毛利润=（每件产品的销售价﹣成本）×销售量，可求出S与x之间的函数表达式；方法二，根据：毛利润=销售总价﹣成本总价，也可求出S与x之间的函数表达式；（3）由（2）知，当x=﹣ 
时，二次函数能取得极值．
