Question

如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连接CD．下列结论：①BC+CE=AB，②BD=，③BD=CD，④∠ADC=45°，⑤AC+AB=2AM；其中不正确的结论有（    ）

A．0个              B．1个     C．2个             D．3个

Answer 1

A

试题分析：
①过点E作EF⊥AB于点F。已知Rt△ABC中，AC=BC∴∠3=45°。
∵在△ACE和△AFE中，∠ACB=90°∴∠EFA=∠ACB=90°，且AE平分∠BAC，所以∠1=∠2.且AE=AE。所以△ACE≌△AFE。∴CE=EF，AC=AF。在Rt△EFB中，∠3=45°，所以EF=FB。所以BC+CE="=AF+FB=AB" 。
②作 AM与BD延长线相交于G，在Rt△ADG和Rt△BCG中，∠G= ∠G，∠GCB= ∠GDA=90°。
∴∠1= ∠6,已知：  AC=BC
∴  Rt△GBC≡Rt△EAC，∴BG="AE" 。又∵DG=DB（可通过角边角证明Rt△ADG≌Rt△ADB）
∴  BD=
③BD=CD：证明：∵由②知DG=DB∴在Rt△BGC中，CD为斜边中线。∴CD=BG=BD
④∵BD=CD所以∠5=∠6=∠1，∵BC∥MD，∴∠MDC=∠5，∠GDM=∠6，∴∠GDC=45°。
∵∠GDA=90°，∴∠ADC=45°
⑤由上可得 AB=AG=AC+CG
∵ DM⊥AC  即 DM//BC, 又 DG=DB
∴  MC=MG=CG
∴  AB-BC=CG=2MC
点评：本题难度较高。学生需要通过辅助线补充好全等直角三角形等条件来证明。一般选择题中出现这种证明过程较复杂的题目，可以直接用排除法排除。