题目内容
【题目】如图，在等腰三角形ABC中，∠A＝90°，D是BC边的中点.
(1)若E在直角边AB上运动，F在直角边AC上运动，在运动过程中始终保持BE＝AF.则△EDF_____是三角形.
(2)在(1)的条件下，四边形AEDF的面积是否发生变化？若不变化，请直接写出当AB＝4时，四边形AEDF的面积；若变化，请说明理由.
(3)若E，F分别为AB，CA延长线上的点，且BE＝AF，其他条件不变，那么(1)中的结论是否还成立？画图并证明你的结论.
【答案】(1)等腰直角；(2)四边形AEDF面积不变；(3)成立，证明见解析.
【解析】
(1)题要通过构建全等三角形来求解.连接AD，可通过证△ADF和△BDE全等来求本题的结论.
(2)题可把将四边形AEDF的面积分成△ADF和ADE的面积和求解，由(1)证得△ADF和△BDE全等，因此四边形AEDF的面积可转化为△ABD的面积，由此得证.
(3)与(1)题的思路和解法一样.
(1)证明：如图1中，连接AD.
∵AB＝AC，∠A＝90°，D为BC中点
∴AD＝
＝BD＝CD
且AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD＝45°
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF(SAS)
∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF
∵∠BDE+∠ADE＝90°
∴∠ADF+∠ADE＝90°
即：∠EDF＝90°
∴△EDF为等腰直角三角形.
故答案为等腰直角.
(2)解：四边形AEDF面积不变.
理由：∵由(1)可知，△AFD≌△BED，
∴S△BDE＝S△ADF，
而S四边形AEDF＝S△AED+S△ADF＝S△AED+S△BDE＝S△ABD
∴S四边形AEDF不会发生变化.
(3)解：仍为等腰直角三角形.
理由：如图2中，连接AD.
∵△AFD≌△BED，
∴DF＝DE，∠ADF＝∠BDE，
∵∠ADF+∠FDB＝90°，
∴∠BDE+∠FDB＝90°，
即：∠EDF＝90°，
∴△EDF为等腰直角三角形.
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