Question

【题目】如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝BC，连接BD，作CE⊥AB于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，且CE＝DF.

(1)求证：AB＝AC.

(2)如果∠ABD＝105°，求∠A的度数.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)∠A=40°.

【解析】

(1)先由HL判定Rt△BCE≌Rt△CDF，得到∠ABC＝∠DCF，然后由对顶角相等可得：∠DCF＝∠ACB，进而可得∠ABC＝∠ACB，然后由等角对等边，可得AB＝AC；

(2)由CD＝BC，可得∠CBD＝∠CDB，然后由三角形的外角的性质可得：∠ACB＝∠CBD+∠CDB＝2∠CBD，由∠ABC＝∠ACB，进而可得：∠ABC＝2∠CBD，然后由∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝3∠CBD＝105°，进而可求：∠CBD的度数及∠ABC的度数，然后由三角形的内角和定理即可求∠A的度数.

(1)证明：∵CE⊥AB，DF⊥BC，

∴△BCE和△DCF均是直角三角形，

在Rt△BCE和Rt△DCF中，，

∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)，

∴∠ABC＝∠DCF，

∵∠DCF＝∠ACB，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴AB＝AC；

(2)解：∵CD＝BC，

∴∠CBD＝∠CDB，

∵∠ACB＝∠CBD+∠CDB，

∴∠ACB＝2∠CBD，

∵∠ABC＝∠ACB，

∴∠ABC＝2∠CBD，

∵∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝3∠CBD＝105°，

∴∠CBD＝35°，

∴∠ABC＝2∠CBD＝70°，

∴∠A＝180°﹣2∠ABC＝40°.