Question

【题目】已知关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1、x2 ．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2=3x1x2﹣6，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1，x2，

∴△≥0，即4（k+1）2﹣4×1×k2≥0，解得k≥﹣ ，

∴k的取值范围为k≥﹣ ；

（2）解：∵方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1，x2，

∴x1+x2=2（k+1），x1x2=k2，

∵x1+x2=3x1x2﹣6，

∴2（k+1）=3k2﹣6，即3k2﹣2k﹣8=0，

∴k1=2，k2=﹣ ，

∵k≥﹣ ，

∴k=2．

【解析】（1）根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac的意义得到△≥0，即4（k+1）2﹣4×1×k2≥0，解不等式即可得到k的范围；（2）根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到x1+x2=2（k+1），x1x2=k2 ， 则2（k+1）=3k2﹣6，即3k2﹣2k﹣8=0，利用因式分解法解得k1=2，k2=﹣ ，然后由（1）中的k的取值范围即可得到k的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解求根公式的相关知识，掌握根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根，以及对根与系数的关系的理解，了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．