Question

【题目】二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．

（1）a＝　 　，c＝　 　；

（2）如图1，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求PD+PC的最小值；

（3）如图2，点M在抛物线上，若S△MBC＝3，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）a＝1，c＝﹣3；（2）4；（3）M的坐标为∴M1（，），M2（，），M3（1．﹣4），M4（2，﹣3）．

【解析】

（1）利用待定系数法把问题转化为方程组即可求出答案；

（2）如图1中，作PH⊥BC于H．由DP+PC＝（PD+PC）＝（PD+PH），根据垂线段最短可知，当D、P、H共线时DP+PC最小，最小值为DH′；

（3）如图2中，取点E（1，0），作EG⊥BC于G，易知EG＝．由S△EBC＝BCEG＝3＝3，推出过点E作BC的平行线交抛物线于M1，M2，则,，求出直线M1M2的解析式，利用方程组即可解决问题，同法求出M3，M4的坐标．

（1）把C（3，0），B（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c

得到， ，解得 ．

故答案为1，﹣3．

（2）如图1中，作PH⊥BC于H．

∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，

∴∠PCH＝45°，

在Rt△PCH中，PH＝PC．

∵DP+PC＝（PD+PC）＝（PD+PH），

根据垂线段最短可知，当D、P、H共线时DP+PC最小，最小值为DH′，

在Rt△DH′B中，∵BD＝4，∠DBH′＝45°，

∴DH′＝BD＝2，

∴DP+PC的最小值为2＝4．

（3）如图2中，取点E（1，0），作EG⊥BC于G，易知EG＝．

∵S△EBC＝BCEG＝3＝3，

∴过点E作BC的平行线交抛物线于M1，M2，则,，

∵直线BC的解析式为y＝x﹣3，

∴直线M1M2的解析式为y＝x﹣1，

由 解得 或 ，

∴M1 ，M2，

根据对称性可知，直线M1M2关于直线BC的对称的直线与抛物线的交点M3、M4也满足条件，

易知直线M3M4的解析式为y＝x﹣5，

由解得 或，

∴M3（1．﹣4），M4（2，﹣3），

综上所述，满足条件的点M的坐标为∴M1（，），M2（，），M3（1．﹣4），M4（2，﹣3）．