Question

【题目】如图所示，菱形ABCD中，AB=5，∠ABC=60°，∠EAF=60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．

（1）如图1所示，当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE+CF的值；

（2）如图2所示，当点、分别在、的延长线时，请从，两题中任选一题作答，我选______题．

题：则的值是________．

题：则与的关系是________．

Answer 1

【答案】（1）CE+CF=5；（2）A题：5；B题：CE-CF=5．

【解析】

（1）如图，连接AC，由菱形的性质可得AB=AD=BC=CD，∠D=∠ABC=60°，可得△ABC和△ADC都是等边三角形，即可证明AC=AD，∠CAD=60°，根据角的和差关系可得∠EAC=∠FAD，利用ASA可证明△EAC≌△FAD，可得CE=DF，即可得出CF+CE=CF+DF=CD，可得答案；

（2）A题：如图，连接AC，由角的和差关系可得∠EAB=∠FAC，利用平角定义可得∠ABE=∠ACF，利用ASA可证明△AEB≌△AFC，可得BE=CF，即可得出CE-CF=CE-BE=BC，可得答案；

B题：同A题解法可得答案．

（1）如图，连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴AB=AD=BC=CD，∠D=∠ABC=60°，

∴△ABC和△ADC都是等边三角形，

∴AC=AD，∠CAD=∠ACE=∠D=60°，

∵EAF=60°，

∴∠EAC+∠FAC=∠FAD+∠FAC=60°，

∴∠EAC=∠FAD，

在△EAC和△FAD中，，

∴△EAC≌△FAD，

∴CE=DF，

∵AB=5，

∴CE+CF=CF+DF=CD=AB=5，

（2）A题：如图，连接AC，

∵∠BAC=∠EAF=60°，

∴∠EAB+∠BAF=∠CAF+∠BAF，

∴∠EAB=∠CAF，

∵∠ABC=∠ACD=60°，

∴∠ABE=∠ACF=120°，

在△ABE和△ACF中，，

∴△ABE≌△ACF，

∴BE=CF，

∴CE-CF=CE-BE=BC=5．

故答案为：5

B题：同A题解法可得CE-CF=5．

故答案为：CE-CF=5