题目内容
【题目】如图1，已知直线y=mx分别与双曲线y=
，y=
（x＞0）交于P，Q两点，且OP=2OQ．
（1）求k的值；
（2）如图2，若A是双曲线y=上的动点，AB∥x轴，AC∥y轴，分别交双曲线y=（x＞0）于B，C两点，连接BC，设A点的横坐标为t．
①分别写出A，B，C的坐标，并求△ABC的面积；
②当m=2时，D为直线y=2x上的一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求A点坐标．
【答案】（1）2；（2）①
；②（2，4）或（2
，
）或（
，4）
【解析】
（1）设Q点坐标为（a，b），则P点的坐标为（2a，2b）．分别代入反比例函数解析式即可求出k的值；
（2）①用含t的代数式表示出点A、点B、点C的坐标，然后根据三角形的面积公式求解即可；②分两种情况考虑：（i）当AC为边时，然后根据平行四边形的性质求解即可.
（1）设Q点坐标为（a，b），则P点的坐标为（2a，2b）．
∵P点在双曲线y=
上，Q点在双曲线y=
上，
∴2a2b=8，∴k=ab=2．
（2）①∵A点的横坐标为t，AB∥x轴，AC∥y轴，
∴A点坐标为（t，
），C点坐标为（t，
），B点坐标为（
，），
∴AC=–=
，AB=t–=
，
∴S△ABC=
ACAB=××=
．
②分两种情况考虑：
（i）当AC为边时，如图1所示．
∵四边形ADBC为平行四边形，∴AC=BD，AC∥BD，
∴D点的坐标为（，
），
∴BD=|–|=，即=或=
，
解得：t1=2，t2=–2（舍去），t3=2
，t4=–2（舍去），
∴A点的坐标为（2，4）或（2，
）；
（ii）当AC为对角线时，如图2所示．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，∴D点的坐标为（
，），
∴CD=|–t|=，即=
或=，
解得：t1=
，t2=–（舍去），t3=2，t4=–2（舍去），
∴A点坐标为（，4）或（2，4）．
综上所述，点A的坐标为（2，4）或（2，）或（，4）
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