Question

如图，一次函数y=x-5分别交x轴、y轴于A、B两点，二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A、B两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点（E点位于D点上方），DE=

2

．
①若点D的横坐标为t，用含t的代数式表示D、E的坐标；
②抛物线上是否存在点F，使点F与点D关于x轴对称，如果存在，请求出△AEF的面积；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意可得A（5，0）B（0，-5）
代入解析式y=-x²+bx+c
解得

b=6 c=-5

，
∴解析式为：y=-x²+6x-5．

（2）①作DQ∥y轴EQ⊥DQ
∵OA=5，OB=5
∴△OAB为等腰直角三角形
△DEQ∽△BAO
∵△DQE为等腰直角三角形
∴DE=

2

，
∴DQ=EQ=1
∴D（t，t-5）
E（t+1，t-4）
②∵F与D关于x轴对称
∴F（t，5-t）代入抛物线解析式
得5-t=-t²+6t-5
解得t₁=2 t₂=5
∵D、E异于A、B两点
∴t=5舍去
∴t=2，
∴F（2，3），D （2，-3），E （3，-2），
∴AE=2

2

，EF=

26

，AF=3

2

，
∴AE²+AF²=EF²，
∴∠EAF=90°，
∴S_△AEF=2

2

×3

2

×

1

2

=6．