题目内容
【题目】如图，平面直角坐标系中，O为菱形ABCD的对称中心，已知C（2，0），D（0，﹣1），N为线段CD上一点（不与C、D重合）．
（1）求以C为顶点，且经过点D的抛物线解析式；
（2）设N关于BD的对称点为N1 ， N关于BC的对称点为N2 ， 求证：△N1BN2∽△ABC；
（3）求（2）中N1N2的最小值；
（4）过点N作y轴的平行线交（1）中的抛物线于点P，点Q为直线AB上的一个动点，且∠PQA=∠BAC，求当PQ最小时点Q坐标．
【答案】
（1）
解：由已知，设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2
把D（0，﹣1）代入，得a=﹣ 
∴y=﹣ （x﹣2）2
（2）
解：如图1，连结BN．
∵N1，N2是N的对称点
∴BN1=BN2=BN，∠N1BD=∠NBD，∠NBC=∠N2BC
∴∠N1BN2=2∠DBC
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC，∠ABC=2∠DBC
∴∠ABC=∠N1BN2， 
∴△ABC∽△N1BN2
（3）
解：∵点N是CD上的动点，
∴点到直线的距离，垂线段最短，
∴当BN⊥CD时，BN最短．
∵C（2，0），D（0，﹣1）
∴CD= 
，
∴BNmin= 
= 
，
∴BN1min=BNmin= ，
∵△ABC∽△N1BN2
∴ 
，
N1N2min= 
，
（4）
解：如图2，
过点P作PE⊥x轴，交AB于点E．
∵∠PQA=∠BAC
∴PQ1∥AC
∵菱形ABCD中，C（2，0），D（0，﹣1）
∴A（﹣2，0），B（0，1）
∴lAB：y= 
x+1
不妨设P（m，﹣ （m﹣2）2），则E（m， m+1）
∴PE= m2﹣ m+2
∴当m=1时， 
，
∴P（1，﹣ ），
∴Q1（﹣ 
，﹣ ）．
此时，PQ1最小，最小值为 
= 
，
∴PQ1=PQ2= ．
设Q2（n， n+1），
∵P（1，﹣ ），
∴PQ2= 
= ，
∴n=﹣ 或n= 
，
∴Q2（ ， 
），
∴满足条件的Q（﹣ ，﹣ ）或（ ， ）
【解析】（1）用待定系数法求，即可；（2）由对称的特点得出∠N1BN2=2∠DBC结合菱形的性质即可；（3）先判定出，当BN⊥CD时，BN最短，再利用△ABC∽△N1BN2得到比例式，求解，即可；（4）先建立PE= m2﹣ m+2函数解析式，根据抛物线的特点确定出最小值．
