Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，O为菱形ABCD的对称中心，已知C（2，0），D（0，﹣1），N为线段CD上一点（不与C、D重合）．

（1）求以C为顶点，且经过点D的抛物线解析式；
（2）设N关于BD的对称点为N1 ， N关于BC的对称点为N2 ， 求证：△N1BN2∽△ABC；
（3）求（2）中N1N2的最小值；
（4）过点N作y轴的平行线交（1）中的抛物线于点P，点Q为直线AB上的一个动点，且∠PQA=∠BAC，求当PQ最小时点Q坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知，设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2

把D（0，﹣1）代入，得a=﹣

∴y=﹣ （x﹣2）2

（2）

解：如图1，连结BN．

∵N1，N2是N的对称点

∴BN1=BN2=BN，∠N1BD=∠NBD，∠NBC=∠N2BC

∴∠N1BN2=2∠DBC

∵四边形ABCD是菱形

∴AB=BC，∠ABC=2∠DBC

∴∠ABC=∠N1BN2，

∴△ABC∽△N1BN2

（3）

解：∵点N是CD上的动点，

∴点到直线的距离，垂线段最短，

∴当BN⊥CD时，BN最短．

∵C（2，0），D（0，﹣1）

∴CD= ，

∴BNmin= = ，

∴BN1min=BNmin= ，

∵△ABC∽△N1BN2

∴ ，

N1N2min= ，

（4）

解：如图2，

过点P作PE⊥x轴，交AB于点E．

∵∠PQA=∠BAC

∴PQ1∥AC

∵菱形ABCD中，C（2，0），D（0，﹣1）

∴A（﹣2，0），B（0，1）

∴lAB：y= x+1

不妨设P（m，﹣ （m﹣2）2），则E（m， m+1）

∴PE= m2﹣ m+2

∴当m=1时， ，

∴P（1，﹣ ），

∴Q1（﹣ ，﹣ ）．

此时，PQ1最小，最小值为 = ，

∴PQ1=PQ2= ．

设Q2（n， n+1），

∵P（1，﹣ ），

∴PQ2= = ，

∴n=﹣ 或n= ，

∴Q2（ ， ），

∴满足条件的Q（﹣ ，﹣ ）或（ ， ）

【解析】（1）用待定系数法求，即可；（2）由对称的特点得出∠N1BN2=2∠DBC结合菱形的性质即可；（3）先判定出，当BN⊥CD时，BN最短，再利用△ABC∽△N1BN2得到比例式，求解，即可；（4）先建立PE= m2﹣ m+2函数解析式，根据抛物线的特点确定出最小值．