题目内容
【题目】如图,直线l1∥l2∥l3 , 且l1与l2的距离为1,l2与l3的距离为2,等腰△ABC的顶点分别在直线l1、l2 , l3上,AB=AC,∠BAC=120°,则等腰三角形的腰长为 .
【答案】2或 或
【解析】解:①如图1中,作BF⊥l1于F交l3于H,取BC的中点E,过点E作l4∥l3 , 连接AE.取AB的中点O,连接OF、OE.
∵AB=AC,BE=EC.
∴AE⊥BC,∠BAE=60°,∵BF⊥AF,
∴∠AFB=∠AEB=90°,
∴OA=OB=OF=OE,
∴A、F、B、E四点共圆,
∴∠BFE=∠BAE=60°,
∵l1∥l2∥l3∥l4 , BE=EC,
∴BF=BM=MH=1,
在Rt△EFM中,EM=FMtan60°=2 ,
在Rt△BEM中,BE= = ,
在Rt△ABE中,AB=BE÷cos30°= .
②如图2中,作BF⊥l3于F交l2于G,取BC的中点E,过点E作 ∥l1交BF于H.
同理可证B、F、A、E四点共圆,
∴∠BFE=∠BAE=60°,
∵BE=EC,l1∥l4∥l2 ,
∴BH=HG= ,
在Rt△EHF中,HE=FHtan60°= ,
在Rt△BEH中,BE= = ,
∴AB=BE÷cos30°= ,
③如图3中,在直线l2取一点A,作AB⊥l2交l3于B,作∠CAB=120°,作CE⊥l2于E.
∵∠CAE=∠CAB﹣∠EAB=120°﹣90°=30°,
∴在Rt△ACE中,AC=2EC=2,
∵AB=2,
∴AC=AB,
∴△ABC满足条件,
∴AB=2,
综上所述,等腰三角形的腰长为2或 或 .
【考点精析】通过灵活运用含30度角的直角三角形,掌握在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半即可以解答此题.