Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线与AD的延长线交于F．
（1）求证：
（2）若sinC=，DF=6，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）．

试题分析：（1）一方面由切线的性质和平行的性质得到∠ADC=∠F四边形2另一方面由圆周角定理得∠ABC=∠ADC，从而证得∠ABC=∠F．
（2）连接BD，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，根据切线的性质得到∠ABF=90°，利用锐角三角函数定义，在Rt△DBF中，由，DF=6求得BD=8；在Rt△ABD中，由求得，即可得到⊙O的半径.
试题解析：（1）∵BF为⊙O的切线，∴AB⊥BF于点B．
∵ CD⊥AB，∴∠ABF =∠AHD =90°．
∴CD∥BF．∴∠ADC=∠F．
又∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC=∠F．
（2）如图，连接BD．
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB =90°.
由（1）∠ABF =90°，∴∠A=∠DBF．
又∵∠A=∠C，∴∠C=∠DBF．
在Rt△DBF中，，DF=6，∴BD=8．
在Rt△ABD中，，∴．∴⊙O的半径为．