Question

如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与弧AC相交于点E，连接BC．

（1）求证：∠PAC=∠B，且PA•BC=AB•CD；
（2）若PA=10，sinP=，求PE的长．

Answer 1

（1）证明见解析（2）5

（1）证明：∵PA是⊙O的切线，AB是直径，∴∠PAO=90°，∠C=90°。
∴∠PAC+∠BAC=90°，∠B+∠BAC=90°。∴∠PAC=∠B。
又∵OP⊥AC，∴∠ADP=∠C=90°。∴△PAD∽△ABC，∴AP：AB=AD：BC，
∵在⊙O中，AD⊥OD，∴AD=CD。∴AP：AB=CD：BC。∴PA•BC=AB•CD；
（2）解：∵sinP=，且AP=10，∴。∴AD=6。∴AC=2AD=12。
在Rt△ADP中，根据勾股定理得：。
又∵△PAD∽△ABC，∴AP：AB=PD：AC。∴AB==15。∴AO=。
在Rt△APO中，根据勾股定理得：。
∴PE=OP﹣OE= ﹣=5。
（1）由PA为圆O的切线，利用切线的性质得到AP垂直于AB，可得出∠PAO为直角，得到∠PAD与∠DAO互余，再由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得出∠ACB为直角，得到∠DAO与∠B互余，根据同角的余角相等可得出∠PAC=∠B，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△APD与△ABC相似，由相似得比例，再由OD垂直于AC，利用垂径定理得到AD=CD，等量代换可得证。
（2）在Rt△APD中，由PA及sinP的值求出AD的长，再利用勾股定理求出PD的长，从而确定出AC的长，由（1）两三角形相似得到的比例式，将各自的值代入求出AB的上，求出半径AO的长，在Rt△APO中，由AP及AO的长，利用勾股定理求出OP的长，用OP﹣OE即可求出PE的长。