题目内容
【题目】观察下列等式:
12×231=132×21,
13×341=143×31,
23×352=253×32,
34×473=374×43,
62×286=682×26,
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.
(1)根据上述各式反映的规律填空,使式子称为“数字对称等式”:
①52× = ×25;
② ×396=693× .
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2≤a+b≤9,写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a、b),并证明.
【答案】解:(1)①275;572。
②63;36。
(2)“数字对称等式”一般规律的式子为:
(10a+b)×[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b]×(10b+a)。证明如下:
∵左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,
∴左边的两位数是10a+b,三位数是100b+10(a+b)+a,
右边的两位数是10b+a,三位数是100a+10(a+b)+b,
∴左边=(10a+b)×[100b+10(a+b)+a]=(10a+b)(100b+10a+10b+a)
=(10a+b)(110b+11a)=11(10a+b)(10b+a),
右边=[100a+10(a+b)+b]×(10b+a)=(100a+10a+10b+b)(10b+a)
=(110a+11b)(10b+a)=11(10a+b)(10b+a),
∴左边=右边。
∴“数字对称等式”一般规律的式子为:
(10a+b)×[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b]×(10b+a)。
【解析】分类归纳(数字的变化类),代数式的计算和证明。
①∵5+2=7,∴左边的三位数是275,右边的三位数是572。∴52×275=572×25。
②∵左边的三位数是396,∴左边的两位数是63,右边的两位数是36。∴63×369=693×36。
(2)按照(1)中对称等式的方法写出,然后利用多项式的乘法进行证明即可。