题目内容
【题目】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC= 
AC，连接OA，OB，BD和AD．
（1）若点A的坐标是（﹣4，4）．
①求b，c的值；
②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；
（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
解：①∵AC∥x轴，A点坐标为（﹣4，4）．
∴点C的坐标是（0，4）
把A、C两点的坐标代入y=﹣x2+bx+c得，
，
解得 
；
②四边形AOBD是平行四边形；
理由如下：
由①得抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x+4，
∴顶点D的坐标为（﹣2，8），
过D点作DE⊥AB于点E，
则DE=OC=4，AE=2，
∵AC=4，
∴BC= 
AC=2，
∴AE=BC．
∵AC∥x轴，
∴∠AED=∠BCO=90°，
∴△AED≌△BCO，
∴AD=BO．∠DAE=∠OBC，
∴AD∥BO，
∴四边形AOBD是平行四边形．
（2）
解：存在，点A的坐标可以是（﹣2 
，2）
要使四边形AOBD是矩形；
则需∠AOB=∠BCO=90°，
∵∠ABO=∠OBC，
∴△ABO∽△OBC，
∴ 
，
又∵AB=AC+BC=3BC，
∴OB= 
BC，
∴在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：OC= BC，AC= OC，
∵C点是抛物线与y轴交点，
∴OC=c，
∴A点坐标为（﹣ c，c），
∴顶点横坐标 
=﹣ 
c，b=﹣ c，
顶点D纵坐标是点A纵坐标的2倍，为2c，
顶点D的坐标为（﹣ c，2c）
∵将D点代入可得2c=﹣（﹣ c）2+ c c+c，
解得：c=2或者0，
当c为0时四边形AOBD不是矩形，舍去，故c=2；
∴A点坐标为（﹣2 ，2）．
【解析】（1）①将抛物线上的点的坐标代入抛物线即可求出b、c的值；
②求证AD=BO和AD∥BO即可判定四边形为平行四边形；（2）根据矩形的各角为90°可以求得△ABO∽△OBC即 ，再根据勾股定理可得OC= BC，AC= OC，可求得横坐标为﹣ c，纵坐标为c．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质，需要了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．
