题目内容
如图，边长为1的正方形ABCD中，以A为圆心，1为半径作
，将一块直角三角板的直角顶点P放置在
（不包括端点B、D）上滑动，一条直角边通过顶点A，另一条直角边与边BC相交于点Q，连接PC，并设PQ=x，以下我们对
△CPQ进行研究．
（1）△CPQ能否为等边三角形？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由；
（2）求△CPQ周长的最小值；
（3）当△CPQ分别为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形时分别求x的取值范围．
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| BD |
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| BD |
△CPQ进行研究．（1）△CPQ能否为等边三角形？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由；
（2）求△CPQ周长的最小值；
（3）当△CPQ分别为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形时分别求x的取值范围．
（1）假设△CPQ为等边三角形时，
一方面x=BQ=PQ=CQ=
，（1分）
另一方面，连接AQ，
∵∠PAQ=30°，∠APQ=90°，
∴∠AQP=60°，
∵∠PQC=60°，
∴∠AQB=60°，
∴∠BAQ=30°，
∴tan∠BAQ=tan30°=
，
∴x=
，（2分）
∴得出自相矛盾；
∴△CPQ不能为等边三角形．（3分）
（2）△CPQ的周长=PQ+QC+CP=BQ+QC+CP=BC+PC=1+PC；（4分）
又∵PC≥AC-PA=
-1，
∴△CPQ的周长≥1+
-1=
，
即当点P运动至点P0时，△CPQ的周长最小值是
．（6分）
（3）连接AC，交
于P0，则P0Q=BQ=x，∠P0CQ=45°，∠CP0Q=90°；
∴P0Q=BQ=x=
-1，∠PQC=∠PAB＜90°，∠PCQ＜90°．（7分）
①当P在
上运动时，
∵∠APQ=90°，
∴0°＜∠CPQ＜90°，
此时△CPQ是锐角三角形，
-1＜x＜1．（8分）
②当P与P0重合时，∠CPQ=90°，此时△CPQ是直角三角形，x=
-1．（9分）
③当P在
上运动时，
∵∠APC＜180°，∠APQ=90°，
∴90°＜∠CPQ＜180°，
此时△CPQ是钝角三角形，0＜x＜
-1．（10分）
一方面x=BQ=PQ=CQ=
| 1 |
| 2 |
另一方面，连接AQ，
∵∠PAQ=30°，∠APQ=90°，
∴∠AQP=60°，
∵∠PQC=60°，
∴∠AQB=60°，
∴∠BAQ=30°，
∴tan∠BAQ=tan30°=
| x |
| 1 |
∴x=
| ||
| 3 |
∴得出自相矛盾；
∴△CPQ不能为等边三角形．（3分）
（2）△CPQ的周长=PQ+QC+CP=BQ+QC+CP=BC+PC=1+PC；（4分）
又∵PC≥AC-PA=
| 2 |
∴△CPQ的周长≥1+
| 2 |
| 2 |
即当点P运动至点P0时，△CPQ的周长最小值是
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（3）连接AC，交
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| BD |
∴P0Q=BQ=x=
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①当P在
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| DP0 |
∵∠APQ=90°，
∴0°＜∠CPQ＜90°，
此时△CPQ是锐角三角形，
| 2 |
②当P与P0重合时，∠CPQ=90°，此时△CPQ是直角三角形，x=
| 2 |
③当P在
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| P0B |
∵∠APC＜180°，∠APQ=90°，
∴90°＜∠CPQ＜180°，
此时△CPQ是钝角三角形，0＜x＜
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练习册系列答案
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