Question

如图，边长为1的正方形ABCD中，以A为圆心，1为半径作

BD

，将一块直角三角板的直角顶点P放置在

BD

（不包括端点B、D）上滑动，一条直角边通过顶点A，另一条直角边与边BC相交于点Q，连接PC，并设PQ=x，以下我们对△CPQ进行研究．
（1）△CPQ能否为等边三角形？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由；
（2）求△CPQ周长的最小值；
（3）当△CPQ分别为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形时分别求x的取值范围．

Answer 1

（1）假设△CPQ为等边三角形时，
一方面x=BQ=PQ=CQ=

1

2

，（1分）
另一方面，连接AQ，
∵∠PAQ=30°，∠APQ=90°，
∴∠AQP=60°，
∵∠PQC=60°，
∴∠AQB=60°，
∴∠BAQ=30°，
∴tan∠BAQ=tan30°=

x

1

，
∴x=

3

3

，（2分）
∴得出自相矛盾；
∴△CPQ不能为等边三角形．（3分）

（2）△CPQ的周长=PQ+QC+CP=BQ+QC+CP=BC+PC=1+PC；（4分）
又∵PC≥AC-PA=

2

-1，
∴△CPQ的周长≥1+

2

-1=

2

，
即当点P运动至点P₀时，△CPQ的周长最小值是

2

．（6分）

（3）连接AC，交

BD

于P₀，则P₀Q=BQ=x，∠P₀CQ=45°，∠CP₀Q=90°；
∴P₀Q=BQ=x=

2

-1，∠PQC=∠PAB＜90°，∠PCQ＜90°．（7分）
①当P在

DP0

上运动时，
∵∠APQ=90°，
∴0°＜∠CPQ＜90°，
此时△CPQ是锐角三角形，

2

-1＜x＜1．（8分）
②当P与P₀重合时，∠CPQ=90°，此时△CPQ是直角三角形，x=

2

-1．（9分）
③当P在

P0B

上运动时，
∵∠APC＜180°，∠APQ=90°，
∴90°＜∠CPQ＜180°，
此时△CPQ是钝角三角形，0＜x＜

2

-1．（10分）