Question

已知，二次函数的图像经过点和点B，其中点B在第一象限，且OA=OB，cot∠BAO=2．

（1）求点B的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）过点B作直线BC平行于x轴，直线BC与二次函数图像的另一个交点为C，联结AC，如果点P在x轴上，且△ABC和△PAB相似，求点P的坐标．

Answer 1

(1)点B的坐标是（3，4）,(2)二次函数的解析式是
(3)点P的坐标为（6，0）或（，0）．

试题分析：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，根据余切的定义可设BD=x，AD=2x，在Rt△ODB中根据勾股定理可计算出x，则BD=4，OD=3，所以点B的坐标是（3，4）；
（2）利用待定系数法可确定二次函数的解析式；
（3）先确定C点的坐标为（-8，4），则BC=11，AB=4，由CB∥x轴得到∠ABC=∠BAP，再分类讨论：当△ABC∽△BAP；当△ABC∽△PAB，然后利用比例线段求AP的长，从而确定P点坐标．
试题解析：
解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为点D 
在Rt△ADB中，∠ADB=90º，
cot∠BAO==2．
设BD=x，AD=2x，由题意，得OA=0B=5，∴OD=2x-5．
在Rt△ODB中，OD²+B^D2=OB²，∴，
解得，（不合题意，舍去）．
∴BD=4，OD=3，∴点B的坐标是（3，4）．
（2）由题意，得，解这个方程组，得 
∴二次函数的解析式是
（3）∵直线BC平行于x轴，∴C点的纵坐标为4，设C点的坐标为（m，4）．
由题意，得， 解得（不合题意，舍去），．
∴C点的坐标为（-8，4），   BC=11，  AB= ．
∵∠ABC=∠BAP，
①如果△ABC∽△BAP，那么，
∴AP=11，点P的坐标为（6，0）．m]
②如果△ABC∽△PAB，那么，
∴AP=，点P的坐标为（，0）．
综上所述，点P的坐标为（6，0）或（，0）．