Question

【题目】如图①，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点……最后一个△AnBnCn的顶点Bn，Cn在圆上.

(1)如图②，当n＝1时，求正三角形的边长a1.

(2)如图③，当n＝2时，求正三角形的边长a2.

(3)如图①，求正三角形的边长an(用含n的代数式表示).

Answer 1

【答案】(1) a1＝.(2) a2＝’ (3) an＝.

【解析】分析：（1）设PQ与 交于点D，连接，得出OD= -O，用含的代数式表示OD，在△OD中，根据勾股定理求出正三角形的边长；（2）设PQ与 交于点E，连接O，得出OE=E-O，用含的代数式表示OE，在△OE中，根据勾股定理求出正三角形的边长；（3）设PQ与 交于点F，连接O，得出OF=F-O，用含an的代数式表示OF，在△OF中，根据勾股定理求出正三角形的边长an．

本题解析：

(1)易知△A1B1C1的高为，则边长为，

∴a1＝.

(2)设△A1B1C1的高为h，则A2O＝1－h，连结B2O，设B2C2与PQ交于点F，则有OF＝2h－1.

∵B2O2＝OF2＋B2F2，∴1＝(2h－1)2＋ .

∵h＝a2，∴1＝(a2－1)2＋a22，

解得a2＝ .

(3)同(2)，连结BnO，设BnCn与PQ交于点F，则有BnO2＝OF2＋BnF2，

即1＝(nh－1)2＋ .

∵h＝ an，∴1＝an2＋ ，

解得an＝ .