题目内容
【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣
，经过A（﹣1，0），B（5，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=
x2﹣2x﹣
；（2）P（2，﹣
）；（3）符合条件的点N的坐标为（4，﹣
）、（2+
，
）或（2﹣
，）．
【解析】
试题分析：（1）把A（﹣1，0），B（5，0）代入y=ax2+bx﹣
，列出a和b的二元一次方程组，求出a和b的值即可；
（2）首先求出抛物线的对称轴，连接BC，然后设设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），求出k和b的值，把x=2代入一次函数解析式，求出y的值即可；
（3）①当点N在x轴下方时，直接求出N点坐标；②当点N在x轴上方时，过点N作ND垂直x轴于点D，先求出N点的纵坐标为，进而求出点N的横坐标，即可解答．
解：（1）把A（﹣1，0），B（5，0）代入y=ax2+bx﹣，
得到
，
解得
，
即抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣；
（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣
，
∴其对称轴为直线x=﹣
=﹣
=2，
连接BC，如图1所示，
∵B（5，0），C（0，﹣），
∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴
，
解得
，
∴直线BC的解析式为y=
x﹣，
当x=2时，y=1﹣
=﹣，
∴P（2，﹣）；
（3）存在，
如图2所示，
①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），
∴N1（4，﹣）；
②当点N在x轴上方时，过点N作ND垂直x轴于点D，
在△AND与△MCO中，
∵
，
∴△AND≌△MCO（ASA），
∴ND=OC=，即N点的纵坐标为，
∴
x2﹣2x﹣=，
解得x=2±，
∴N2（2+，），N3（2﹣，），
综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣）、（2+，）或（2﹣，）．
