题目内容

如图1,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式;
(2)连结CA,CB,对称轴x=1与线段AB交于点D,求△CAB的铅垂高CD及S△CAB
(3)如图2,点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结PA,PB,是否存在一点P,使S△PAB=
9
8
S△CAB?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)∵抛物线的顶点为(1,4),
设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,
把点A(3,0)代入得:0=a(3-1)2+4,
解得:a=-1,
∴抛物线的解析式为:y=-(x-1)2+4,
即y=-x2+2x+3,
当x=0时,y=3,
∴点B的坐标为(0,3),
设直线AB的解析式为y=kx+b,
把点(3,0),B(0,3)代入得,
0=3k+b
3=b

解得
k=-1
b=3

∴直线的解析式为:y=-x+3;

(2)把x=1代入y=-x+3得:y=2,
则CD=4-2=2,
设对称轴x=1与x轴交于点H,
S△CAB=
1
2
CD•OH+
1
2
CD•HA=
1
2
CD•OA=
1
2
×2×3=3;

(3)过点P作PE⊥x轴交线段AB于点F,
设点P(x,-x2+2x+3),则点F(x,-x+3),PF=-x2+2x+3-(-x+3)=-x2+3x,
S△PAB=
1
2
PF•OA=
1
2
×3(-x2+3x)=-
3
2
x2+
9
2
x(0<x<3),
要使S△PAB=
9
8
S△CAB
则有-
3
2
x2+
9
2
x=
9
8
×3,即4x2-12x+9=0,
解得:x1=x2=
3
2

当x=
3
2
时,y=-x2+2x+3=
15
4

∴点P的坐标为(
3
2
15
4
).
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