题目内容
如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点(P异于A、D),Q是BC边上的任意一点.连AQ、DQ,过P作PE
∥DQ交AQ于E,作PF
∥AQ交DQ于F.
(1)求证:△APE
∽△ADQ;
(2)设AP的长为x,试求△PEF的面积S
△PEF关于x的函数关系式,并求当P在何处时,S
△PEF取得最大值,

最大值为多少?
(3)当Q在何处时,△ADQ的周长最小?(须给出确定Q在何处的过程或方法,不必给出证明)
(1)证明:∵PE
∥DQ
∴△APE
∽△ADQ;
(2)同(1)可证△APE
∽△ADQ与△PDF
∽△ADQ,及S
△PEF=
S
平行四边形PEQF,
根据相似三角形的面积之比等于相似比得平方,
∴
=
()2,
=
()2,
∵S
△AQD=
AD×AB=
×3×2=3,
得S
△PEF=S
平行四边形PEQF=
(S
△AQD-S
△AEP-S
△DFP)
=
×[3-
()2×3-
()2×3]
=
(-
x
2+2x)
=-
x
2+x
=-
(x-
)
2+
.
∴当x=
,即P是AD的中点时,S
△PEF取得最大值
.
(3)作A关于直线BC的对称点A′,连DA′交BC于Q,则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点,此时Q是BC的中点.

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