Question

如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点．连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．
（1）求证：△APE∽△ADQ；
（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S_△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S_△PEF取得最大值，最大值为多少？
（3）当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明）

Answer 1

（1）证明：∵PE∥DQ
∴△APE∽△ADQ；

（2）同（1）可证△APE∽△ADQ与△PDF∽△ADQ，及S_△PEF=

1

2

S_{平行四边形PEQF}，
根据相似三角形的面积之比等于相似比得平方，
∴

S△AEP

S△AQD

=(

x

3

)2，

S△DPF

S△ADQ

=(

3-x

3

)2，
∵S_△AQD=

1

2

AD×AB=

1

2

×3×2=3，
得S_△PEF=

1

2

S_{平行四边形PEQF}
=

1

2

（S_△AQD-S_△AEP-S_△DFP）
=

1

2

×[3-(

x

3

)2×3-(

3-x

3

)2×3]
=

1

2

（-

2

3

x²+2x）
=-

1

3

x²+x
=-

1

3

（x-

3

2

）²+

3

4

．
∴当x=

3

2

，即P是AD的中点时，S_△PEF取得最大值

3

4

．

（3）作A关于直线BC的对称点A′，连DA′交BC于Q，则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点．