Question

【题目】如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BCA＝90°，BC＝AC，直角顶点C在y轴上，锐角顶点A在x轴上．

（1）如图①，若点C的坐标是（0，﹣1），点A的坐标是（﹣3，0），求B点的坐标；

（2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点D，过点B作BE⊥x轴于E，问AD与BE有怎样的数量关系，并说明理由；

（3）如图③，直角边AC在两坐标轴上滑动，使点B在第四象限内，过B点作BF⊥x轴于F，在滑动的过程中，猜想OC、BF、OA之间的关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）B（1，2）；（2）AD＝2BE，理由见解析；（3）OC＝BF+OA，理由见解析

【解析】

（1））如图①，过B作BG⊥y轴于G，证明△AOC≌△CGB（AAS），得AO=CG=3，OC=BG=1，表示点B的坐标；

（2）如图②，延长BE、AC交于H，证明△AEB≌△AEH（ASA），得BE=EH，即BH=2BE，再证明△ACD≌△BCH（ASA），可得结论；

（3）如图③，过C作CM⊥BF，交FB的延长线于M，证明△AOC≌△BMC（AAS），四边形OCMF为矩形，根据线段的和可得结论．

（1）如图①，过B作BG⊥y轴于G，

∵点C的坐标是（0，﹣1），点A的坐标是（﹣3，0），

∴OC＝1，OA＝3，

∵∠BCA＝90°，

∴∠ACO+∠BCG＝90°，

∵∠BCG+∠CBG＝90°，

∴∠ACO＝∠CBG，

∵AC＝BC，∠AOC＝∠BGC＝90°，

∴△AOC≌△CGB（AAS），

∴AO＝CG＝3，OC＝BG＝1，

∴OG＝3﹣1＝2，

∴B（1，2）；

（2）如图②，AD＝2BE，

理由是：延长BE、AC交于H，

∵BE⊥x轴，

∴∠AEB＝∠AEH＝90°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠CAD＝∠BAD，

∵AE＝AE，

∴△AEB≌△AEH（ASA），

∴BE＝EH，即BH＝2BE，

∵∠ACD＝∠BED＝90°，∠ADC＝∠BDE，

∴∠CAD＝∠CBH，

∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCH＝90°，

∴△ACD≌△BCH（ASA），

∴AD＝BH＝2BE；

（3）OC＝BF+OA，

理由是：如图③，过C作CM⊥BF，交FB的延长线于M，

同理可得：△AOC≌△BMC（AAS），

∴AO＝BM，OC＝CM，

∵∠COF＝∠OFM＝∠M＝90°，

∴四边形OCMF为矩形，

∴FM＝OC，

∴FM＝BF+BM，

∴OC＝BF+OA．