题目内容
【题目】如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3cm，过点A作∠EAF＝60°，分别交DC，BC的延长线于点E，F，连接EF．
（1）如图1，当CE＝CF时，判断△AEF的形状，并说明理由；
（2）若△AEF是直角三角形，求CE，CF的长度；
（3）当CE，CF的长度发生变化时，△CEF的面积是否会发生变化，请说明理由．
【答案】(1) △AEF是等边三角形，证明见解析；(2) CF＝
，CE＝6或CF＝6，CE＝；(3) △CEF的面积不发生变化，理由见解析.
【解析】
（1）证明△BCE≌△DCF（SAS），得出∠BE＝DF，CBE＝∠CDF，证明△ABE≌△ADF（SAS），得出AE＝AF，即可得出结论；
（2）分两种情况：①∠AFE＝90°时，连接AC、MN，证明△MAC≌△NAD（ASA），得出AM＝AN，CM＝DN，证出△AMN是等边三角形，得出AM＝MN＝AN，设AM＝AN＝MN＝m，DN＝CM＝b，BM＝CN＝a，证明△CFN∽△DAN，得出
，得出FN＝
，AF＝m+，同理AE＝m+
，在Rt△AEF中，由直角三角形的性质得出AE＝2AF，得出m+＝2（m+），得出b＝2a，因此
，得出CF＝
AD＝，同理CE＝2AB＝6；
②∠AEF＝90°时，同①得出CE＝AD＝，CF＝2AB＝6；
（3）作FH⊥CD于H，如图4所示：由（2）得BM＝CN＝a，CM＝DN＝b，证明△ADN∽△FCN，得出
，由平行线得出∠FCH＝∠B＝60°，△CEM∽△BAM，得出
，得出
，求出CF×CE＝AD×AB＝3×3＝9，由三角函数得出CH＝CF×sin∠FCH＝CF×sin60°＝
CF，即可得出结论．
解：（1）△AEF是等边三角形，理由如下：
连接BE、DF，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝DC＝AD，∠ABC＝∠ADC，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠BE＝DF，CBE＝∠CDF，
∴∠ABC+∠CBE＝∠ADC+∠CDF，
即∠ABE＝∠ADF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，又∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形；
（2）分两种情况：
①∠AFE＝90°时，连接AC、MN，如图2所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝DC＝AD＝3，∠D＝∠B＝60°，AD∥BC，AB∥CD，
∴△ABC和△ADC是等边三角形，
∴AC＝AD，∠ACM＝∠D＝∠CAD＝60°＝∠EAF，
∴∠MAC＝∠NAD，
在△MAC和△NAD中，
，
∴△MAC≌△NAD（ASA），
∴AM＝AN，CM＝DN，
∵∠EAF＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM＝MN＝AN，
设AM＝AN＝MN＝m，DN＝CM＝b，BM＝CN＝a，
∵CF∥AD，
∴△CFN∽△DAN，
∴，
∴FN＝，
∴AF＝m+，
同理：AE＝m+，
在Rt△AEF中，∵∠EAF＝60°，
∴∠AEF＝30°，
∴AE＝2AF，
∴m+＝2（m+），
整理得：b2﹣ab﹣2a2＝0，
（b﹣2a）（b+a）＝0，
∵b+a≠0，
∴b﹣2a＝0，
∴b＝2a，
∴
＝，
∴CF＝AD＝，
同理：CE＝2AB＝6；
②∠AEF＝90°时，连接AC、MN，如图3所示：
同①得：CE＝AD＝，CF＝2AB＝6；
（3）当CE，CF的长度发生变化时，△CEF的面积不发生变化；理由如下：
作FH⊥CD于H，如图4所示：
由（2）得：BM＝CN＝a，CM＝DN＝b，
∵AD∥CF，
∴△ADN∽△FCN，
∴，
∵CE∥AB，
∴∠FCH＝∠B＝60°，△CEM∽△BAM，
∴，
∴，
∴CF×CE＝AD×AB＝3×3＝9，
∵CH＝CF×sin∠FCH＝CF×sin60°＝CF，
△CEF的面积＝CE×FH＝CE×CF＝×9×＝
，∴△CEF的面积是定值，不发生变化．
