Question

已知：如图，BD为∠ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD的延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①∠ABE=∠ACE；②∠BCE+∠BCD=180°；③AE=EC；④BE+BD=2BF，其中正确的是（　　）

A．①②③

B．①③④

C．①②④

D．①②③④

Answer 1

分析：由BD为角平分线得到一对角相等，再由BD=BC，BE=BA，可得出三角形ABE与三角形BCD为相似的等腰三角形，即两三角形底角相等，再由对顶角相等，得到三角形ADE与BDC相似，由相似得比例且得到一对角相等，再由对应角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出三角形ADB与三角形CED相似，由相似三角形的对应角相等得到∠ABE=∠ACE，故选项①正确；由题意得出A、B、C、E四点共圆，利用圆内接四边形的对角互补即可得到∠BCE+∠BAE=180°，等量代换可得出∠BCE+∠BCD=180°，故选项②正确；等量代换可得出∠ACE=∠CAE，利用等角对等边可得出AE=EC，故选项③正确；过E作EM垂直于BC，由BE为角平分线，EF垂直于AB，利用角平分线定理得到AF=CM，等量代换即可得到BD+BE=2BF，故选项④正确，即可得到正确的选项为D．

解答：解：∵BD为∠ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
又BD=BC，BA=BE，
∴∠BCD=

180°-∠CBE

2

，∠BEA=

180°-∠ABE

2

，即∠BCD=∠BEA，
又∠BDC=∠ADE，
∴△ADE∽△BCD，
∴

AD

BD

=

DE

CD

，∠DAE=∠CBE，
∴∠ABE=∠DAE，
又∠ADB=∠EDC，
∴△ADB∽△EDC，
∴∠ACE=∠ABE，故选项①正确；
∴A、B、C、E四点共圆，
∴∠BCE+∠BAE=180°，又∠BCD=∠BAE，
∴∠BCE+∠BCD=180°，故选项②正确；
∴∠DAE=∠ACE，
∴AE=EC，故选项③正确；
过E作BC延长线的垂线，垂足为M，如图所示：

∵∠BCE+∠BAE=180°，∠BCE+∠ECM=180°，
∴∠BAE=∠ECM，
又BE为∠ABC平分线，EF⊥AB，EM⊥BM，
∴EF=EM，
在△AEF和△CEM中，

∠BAE=∠ECM ∠AFE=∠CME=90° EF=EM

，
∴△AEF≌△CEM（AAS），
∴AF=CM，又AB=EB，BC=BD，
则BE+BD=AB+BC=BF+AF+BC=BF+BC+CM=BF+BF=2BF，
故选项④正确，
则其中正确的是①②③④．
故选D

点评：此题考查了角平分线定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，利用了转化及等量代换的数学思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．