题目内容
【题目】如图，正方形ABCD的边长为6，E、F分别是边CD、AD上动点，AE和BF交于点G．
（1）如图（1），若E为边CD的中点，AF=2FD，求AG的长．
（2）如图（2），若点F在AD上从A向D运动，点E在DC上从D向C运动，两点同时出发，同时到达各自终点，求在运动过程中，点G运动的路径长．
（3）如图（3），若E、F分别是边CD、AD上的中点，BD与AE交于点H，求∠FBD的正切值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】
（1）根据正方形的边长为6，易知DE = CE = 3；由已知AF=2FD可得AF = 4；从而用AAS证明△ADE≌△MCE（AAS），进而求出AD = MC = 6；通过证明△AGF∽△MBG，再通过相似三角形的性质得
，运用勾股定理计算出AM=
,最后得出AG
；
（2）动点问题，通过证明△ABF≌△DAE(HL)，进而得出AFG =∠AED，∠DAE =∠ABF等量关系，易推论出∠AFG+∠DAE=90° ，以证明∠AGB=90°,从而推出G点运动的实质是在以O为圆心，OA为半径的圆上运动了
圆周，运用扇形的弧长公式计算即可得G运动路径的长度；
（3）通过做辅助线过点F作FN⊥BD于点D，构建出Rt△BNF和Rt△DNF，再根据已知条件E、F分别是边CD、AD上的中点，解直角三角形分别求出直角边NF = ND
，BN=BD-DN,最后把所求数据代入
求解即可.
解：（1）延长AE交BC延长线于M,
在正方形ABCD中，∠DAE =∠M
∵E为DC的中点，AF=2FD,正方形边长为6
∴DE = CE = 3，AF = 4
在△ADE和△MCE中
∴△ADE≌△MCE（AAS）
∴AD = MC = 6
在△AGF和△MBG中
∴△AGF∽△MBG
∴
AM=
∴AG.
（2）设AB的中点为点O，则OA =
AB = 3，
由题意知：AF=DE，AB=AD
∴△ABF≌△DAE(HL)
∴∠AFG =∠AED，∠DAE =∠ABF
∵∠AFG +∠ABF=90°，∠DAE +∠AED=90°
∴∠AFG+∠DAE=90°
∴∠AGB=90°
∴点G 在以O为圆心，OA为半径的圆上运动了圆周
∴点G运动的路径长 = 
π = 
π；
（3）过点F作FN⊥BD于点D，据题意知∠FDN=45°，BD = 
∵E、F分别是边CD、AD上的中点
∴DF = ×6 = 3
∴在Rt△DNF中,FN = DN = sin45°DF
∴BN = BD–DN =
∴
【题目】某学校计划组织1200名师生参加社会实践活动，其中包括25名教师与某公交公司洽谈后得知该公司有A、B型两种客车．每辆A型客车载客54人，租金480元；每辆B型客车载客36人，租金280元．由于每辆车上要求有一名教师，决定租用25辆客车．
设租用A型客车x辆（x为非负整数）．
（Ⅰ）根据题意填写下表：
客车类型 | 车辆数（辆） | 载客数（人） | 租金（元） |
A型客车 | x | ||
B型客车 |
|
（Ⅱ）若租车总费用为10800元，怎样安排车辆？
（Ⅲ）采取怎样的租车方案可以使租车总费用最低，最低是多少元？