题目内容

【题目】如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-5x轴交于A-10),B50)两点,与y轴交于点C

1)求抛物线的函数表达式;

2)如图2CEx轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点,过点H且与y轴平行的直线与BCCE分别交于点FG,试探究当点H运动到何处时,四边形CHEF的面积最大,求点H的坐标及最大面积;

3)若点K为抛物线的顶点,点M4m)是该抛物线上的一点,在x轴,y轴上是否存在点PQ,使四边形PQKM的周长最小,若没有,说明理由;若有,求出点PQ的坐标.

【答案】1y=x2-4x-5;(2H),面积最大为;(3)存在,P,0),Q0-).

【解析】

1)根据待定系数法直接求出抛物线解析式即可;

2)设Htt24t5),求出直线BC的解析式,即可表示出点F的坐标,进而求出四边形CHEF的面积与t的函数关系式,利用二次函数求最值即可;

3)利用对称性找出点PQ的位置,进而求出PQ的坐标.

解:(1)∵点A(﹣10),B50)在抛物线yax2+bx5上,

解得

∴抛物线的表达式为yx24x5

2)设Htt24t5),

CEx轴,

∴点E的纵坐标为﹣5

E在抛物线上,

x24x5=﹣5

x0(舍)或x4

E4,﹣5),

CE4

设直线BC的解析式为y=kxc

B50),C0,﹣5)代入,得

解得:

∴直线BC的解析式为yx5

Ftt5),

HFt5﹣(t24t5)=﹣(t2+

CEx轴,HFy轴,

CEHF

S四边形CHEFCEHF=﹣2t2+

-20

∴当t=时,S四边形CHEF最大,最大值为

H,﹣);

3)如图2,四边形PQKM的周长=PMPQQKKM(其中KM为定值)

K为抛物线的顶点,y=x2-4x-5=x-22-9

K2,﹣9),

K关于y轴的对称点K′(﹣2,﹣9),

M4m)在抛物线上,

m=16-16-5=-5

M4,﹣5),

∴点M关于x轴的对称点M′45),

连接K′M′,分别交x轴于点P,交y轴于点Q

∴此时PM=PM′QK=QK′

∴此时四边形PQKM的周长=PMPQQKKM= PM′PQ QK′KM=M′K′KM,根据两点之间线段最短,此时四边形PQKM的周长最小

设直线K′M′的解析式为yexd

K′M′的坐标代入,得

解得:

∴直线K′M′的解析式为y

y=0时,解得x=;当x=0时,解得y=

P0),Q0,﹣).

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