题目内容
【题目】如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图2,CE∥x轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点,过点H且与y轴平行的直线与BC,CE分别交于点F,G,试探究当点H运动到何处时,四边形CHEF的面积最大,求点H的坐标及最大面积;
(3)若点K为抛物线的顶点,点M(4,m)是该抛物线上的一点,在x轴,y轴上是否存在点P,Q,使四边形PQKM的周长最小,若没有,说明理由;若有,求出点P,Q的坐标.
【答案】(1)y=x2-4x-5;(2)H(,),面积最大为;(3)存在,P(,0),Q(0,-).
【解析】
(1)根据待定系数法直接求出抛物线解析式即可;
(2)设H(t,t2﹣4t﹣5),求出直线BC的解析式,即可表示出点F的坐标,进而求出四边形CHEF的面积与t的函数关系式,利用二次函数求最值即可;
(3)利用对称性找出点P,Q的位置,进而求出P,Q的坐标.
解:(1)∵点A(﹣1,0),B(5,0)在抛物线y=ax2+bx﹣5上,
∴,
解得,
∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5,
(2)设H(t,t2﹣4t﹣5),
∵CE∥x轴,
∴点E的纵坐标为﹣5,
∵E在抛物线上,
∴x2﹣4x﹣5=﹣5,
∴x=0(舍)或x=4,
∴E(4,﹣5),
∴CE=4,
设直线BC的解析式为y=kx+c
将B(5,0),C(0,﹣5)代入,得
解得:
∴直线BC的解析式为y=x﹣5,
∴F(t,t﹣5),
∴HF=t﹣5﹣(t2﹣4t﹣5)=﹣(t﹣)2+,
∵CE∥x轴,HF∥y轴,
∴CE⊥HF,
∴S四边形CHEF=CEHF=﹣2(t﹣)2+,
∵-2<0
∴当t=时,S四边形CHEF最大,最大值为
∴H(,﹣);
(3)如图2,四边形PQKM的周长=PM+PQ+QK+KM(其中KM为定值)
∵K为抛物线的顶点,y=x2-4x-5=(x-2)2-9
∴K(2,﹣9),
∴K关于y轴的对称点K′(﹣2,﹣9),
∵M(4,m)在抛物线上,
∴m=16-16-5=-5
∴M(4,﹣5),
∴点M关于x轴的对称点M′(4,5),
连接K′M′,分别交x轴于点P,交y轴于点Q
∴此时PM=PM′,QK=QK′
∴此时四边形PQKM的周长=PM+PQ+QK+KM= PM′+PQ +QK′+KM=M′K′+KM,根据两点之间线段最短,此时四边形PQKM的周长最小
设直线K′M′的解析式为y=ex+d
将K′、M′的坐标代入,得
解得:
∴直线K′M′的解析式为y=,
当y=0时,解得x=;当x=0时,解得y=
∴P(,0),Q(0,﹣).
【题目】某社区招募了40位居民参加“众志成城,抗击疫情”志愿者服务活动,对志愿者一天的服务时长进行调查,由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图.
频数分布表
组别 | 时间/小时 | 频数/人数 |
A组 | 0≤<1 | 2 |
B组 | 1≤<2 | m |
C组 | 2≤<3 | 10 |
D组 | 3≤<4 | 12 |
E组 | 4≤<5 | 7 |
F组 | ≥5 | 4 |
扇形统计图
请根据图表中的信息解答下列问题:
(1)求频数分布表中的的值;
(2)求B组,C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角的度数,并补全扇形统计图;
(3)已知F组的志愿者中,只有1名女志愿者.要从该组中选取两名志愿者分发生活物资,请用树状图或列表的方法求2名志愿恰好都是男士的概率.