题目内容

已知：一次函数y=-
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x+2的图象与x轴、y轴的交点分别为B、C，二次函数的关系式为y=ax2-3ax-4a（a＜0）．
（1）说明：二次函数的图象过B点，并求出二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；
（2）若二次函数图象的顶点，在一次函数图象的下方，求a的取值范围；
（3）若二次函数的图象过点C，则在此二次函数的图象上是否存在点D，使得△ABD是直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点D坐标；若不存在，请说明理由．
（1）令y=0，则-
1
2
x+2=0，解得x=4，
令x=0，则y=2，
所以，点B（4，0），C（0，2），
令y=0，则ax2-3ax-4a=0，
整理得x2-3x-4=0，
解得x1=-1，x2=4，
所以，二次函数的图象过B点，
二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标为A（-1，0）；

（2）y=ax2-3ax-4a=a（x2-3x-4）=a（x-
3
2
）2-
25
4
a，
所以，抛物线的顶点坐标为（
3
2
，-
25
4
a），
当x=
3
2
时，y=-
1
2
×
3
2
+2=
5
4
，
∵二次函数图象的顶点在一次函数图象的下方，
∴-
25
4
a＜
5
4
，
解得a＞-
1
5
，
∴a的取值范围是-
1
5
＜a＜0；

（3）存在．
理由如下：∵二次函数的图象过点C，
∴a×02-3a×0-4a=2，
解得a=-
1
2
，
∴抛物线解析式为y=-
1
2
x2+
3
2
x+2，
∵点A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=4，OC=2，
∵
OA
OC
=
OC
OB
=
1
2
，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO，
∵∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∴△ABC是直角三角形，此时点D与点C重合，
根据二次函数的对称性，当y=2时，-
1
2
x2+
3
2
x+2=2，
整理得，x2-3x=0，
解得x1=0，x2=3，
∴点D的坐标为（0，2）或（3，2）时，△ABD是直角三角形．
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如图，二次函数y=ax2-4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（-4，0）．
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1
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（2）求抛物线与x轴的交点坐标；
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A．-
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B．-
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3
C．-2D．-
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如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式y=-
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8
x2+
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x+
3
2
，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为______米．
已知函数y=x2-kx+3图象的顶点坐标为C，并与x轴相交于A、B，且AB=4，
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（参考公式：当x=-
b
2a
时，二次函数y=ax2+bx+c（a0）有最小（大）值
4ac-b2
4a
）
在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y=
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x2+1，点C的坐标为（-4，0），平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q（x，y）在抛物线上，点P（t，0）在x轴上．
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